以下の問いに答えなさい．

(1)次の式を展開しなさい．
\[ (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \]
(2)$a,\ b,\ c$を$0$以上の実数とする．次の不等式が成り立つことを示しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい．
\[ \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc} \]

座標平面上に楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と放物線$y^2=x-t$があり，$t>0$とする．この楕円と放物線の共有点が$2$個であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$t$の条件を求めよ．
(2)$2$個の共有点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$2$個の共有点における放物線の接線が垂直に交わるように$t$の値を定めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$

で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [　] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$の焦点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$とする．ただし，$\mathrm{F}$の$x$座標は正である．正の実数$m$に対し，$2$直線$y=mx$，$y=-mx$を漸近線にもち，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$を焦点とする双曲線を$C_2$とする．第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{FP}$および線分$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}={60}^\circ$となる$m$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)複素数平面において，$\alpha=3+i$，$\beta=5-3i$とする．点$\beta$を，点$\alpha$を中心として$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$だけ回転した点を表す複素数$\gamma$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から曲線$3x^2-2y^2=-6$に引いた接線の方程式を求めよ．

原点$\mathrm{O}$の座標平面上で点$\mathrm{A}(a,\ 0)$が与えられている．ただし$0<a<1$とする．また，点$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=1 (y>0)$上を以下の条件をみたしながら動くものとする．

（条件）三角形$\mathrm{OAP}$の外心$\mathrm{Q}$は$x^2+y^2 \leqq 1$をみたす領域内にある．

点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$q$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$q$の取りうる範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$q$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が条件をみたしながら動くとき，三角形$\mathrm{OAP}$が通過する領域の面積を$a$を用いて表せ．

実数$x,\ y$が$|x| \leqq 1$と$|y| \leqq 1$を満たすとき，不等式
\[ 0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leqq 1 \]
が成り立つことを示せ．

実数$x,\ y$が$|x| \leqq 1$と$|y| \leqq 1$を満たすとき，不等式
\[ 0 \leqq x^2+y^2-2x^2y^2+2xy \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2} \leqq 1 \]
が成り立つことを示せ．

座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

$a,\ b,\ p$は$a>0$，$b>0$，$p<0$を満たす実数とする．座標平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=e^x,\quad C_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$と$C_2$が点$(p,\ e^p)$を共有し，その点における$C_1$の接線と$C_2$の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)$p$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}(p+a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{b^2e^{2a}}{a}$を求めよ．