「y^2」について
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(6ページ目:全631問中51問~60問を表示)![北星学園大学](./img/univ/hokusei.png)
次の条件を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を考える.
$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数,$y$は$3$の倍数である.
以下の問いに答えよ.
(1)$2016$を素因数分解せよ.
(2)正の整数$n$について,$n^2$が$3$で割り切れれば,$n$も$3$で割り切れる.理由を述べよ.
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である.理由を述べよ.
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ.
$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数,$y$は$3$の倍数である.
以下の問いに答えよ.
(1)$2016$を素因数分解せよ.
(2)正の整数$n$について,$n^2$が$3$で割り切れれば,$n$も$3$で割り切れる.理由を述べよ.
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である.理由を述べよ.
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
$m$を自然数とし,整数$x,\ y$は$x^3+y^3=m$を満たすとする.
(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ.
(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ.
(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ.ただし,$(2)$の結果を利用してもよい.
(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ.
(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ.
(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ.ただし,$(2)$の結果を利用してもよい.
![京都薬科大学](./img/univ/kyotoyakka.png)
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.ただし,$[コ]$においては,$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ.
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
![倉敷芸術科学大学](./img/univ/geikadai.png)
次の式を因数分解せよ.
\[ 6x^2-5xy-4y^2 \]
\[ 6x^2-5xy-4y^2 \]
![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2=1$に対し,双曲線上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における接線を$\ell$とする.ただし,$a>0$とする.
(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ.
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ.
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする.双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める.ただし,$d>0$とする.$\mathrm{O}$を原点とするとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ.
(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ.
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ.
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする.双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める.ただし,$d>0$とする.$\mathrm{O}$を原点とするとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について,$a_{27}=20$,$a_{37}=15$が成り立っている.このとき,$a_1=[ア]$であり,$d=[イ]$である.したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる.
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする.$D$の面積は$[エ]$であり,$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり,$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である.
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり,法線$m$の方程式は$[ク]$である.また,$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると,$X$の範囲は$[ケ]$であり,$Y$の範囲は$[コ]$である.
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について,$a_{27}=20$,$a_{37}=15$が成り立っている.このとき,$a_1=[ア]$であり,$d=[イ]$である.したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる.
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする.$D$の面積は$[エ]$であり,$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり,$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である.
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり,法線$m$の方程式は$[ク]$である.また,$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると,$X$の範囲は$[ケ]$であり,$Y$の範囲は$[コ]$である.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
$r$を$r>1$である定数とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において,点$\mathrm{P}(a,\ b)$は,原点$\mathrm{O}$を除く円$C:(x-r)^2+y^2=r^2$上を動くとする.点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}(p,\ q)$は,$\mathrm{OP} \times \mathrm{OQ}=1$を満たし,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は一直線上にあり,$p>0$であるとする.また点$\mathrm{Q}$に対して,点$\mathrm{R}(p,\ -q)$を考える.このとき次の問いに答えよ.
(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ.
(3)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ.
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ.
(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ.
(3)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ.
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ.
![学習院大学](./img/univ/gakushuin.png)
$a$を実数として,$2$つの不等式
$x^2-y^2 \geqq 0 \qquad\qquad\qquad\quad\, \cdots\cdots (\mathrm{A})$
$(x-a-1)^2+y^2 \leqq a^2 \qquad \cdots\cdots (\mathrm{B})$
を考える.
(1)平面上で$(\mathrm{A})$の定める領域を図示せよ.
(2)実数$x,\ y$について,$(\mathrm{A})$が成り立つことが$(\mathrm{B})$が成り立つことの必要条件となるような$a$の範囲を求めよ.
$x^2-y^2 \geqq 0 \qquad\qquad\qquad\quad\, \cdots\cdots (\mathrm{A})$
$(x-a-1)^2+y^2 \leqq a^2 \qquad \cdots\cdots (\mathrm{B})$
を考える.
(1)平面上で$(\mathrm{A})$の定める領域を図示せよ.
(2)実数$x,\ y$について,$(\mathrm{A})$が成り立つことが$(\mathrm{B})$が成り立つことの必要条件となるような$a$の範囲を求めよ.
![金沢工業大学](./img/univ/kanazawakougyou.png)
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 4)$,$\mathrm{B}(6,\ 0)$をとる.点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$,線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,点$\mathrm{M}$を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする.
(1)点$\mathrm{M}$の座標は$([コ],\ [サ])$である.
(2)直線$\ell_1$の方程式は$y=-x+[シ]$であり,直線$\ell_2$の方程式は$y=x-[ス]$である.
(3)線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線と直線$\ell_2$との交点の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(4)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る円の方程式は$x^2+y^2-[タ]x-[チ]y=0$である.
(1)点$\mathrm{M}$の座標は$([コ],\ [サ])$である.
(2)直線$\ell_1$の方程式は$y=-x+[シ]$であり,直線$\ell_2$の方程式は$y=x-[ス]$である.
(3)線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線と直線$\ell_2$との交点の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(4)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る円の方程式は$x^2+y^2-[タ]x-[チ]y=0$である.
![龍谷大学](./img/univ/ryukoku.png)
次の問いに答えなさい.
(1)実数$\alpha,\ \beta$は,$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha+\sin \beta=0 \\
\cos \alpha+\cos \beta=1
\end{array} \right.$を満たしている.$\cos (\alpha-\beta)$を求めなさい.
(2)次の不等式が表す領域を座標平面上に図示しなさい.
\[ (4x^2+9y^2-36)(4x^2-27y)>0 \]
(3)$2$つのさいころを同時に投げる.出る目の数の積を$n$とし,直線$3x+5y=n$と$x$軸,$y$軸との交点をそれぞれ$(a,\ 0)$,$(0,\ b)$とする.$a$と$b$がどちらも自然数となる確率を求めなさい.
(1)実数$\alpha,\ \beta$は,$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha+\sin \beta=0 \\
\cos \alpha+\cos \beta=1
\end{array} \right.$を満たしている.$\cos (\alpha-\beta)$を求めなさい.
(2)次の不等式が表す領域を座標平面上に図示しなさい.
\[ (4x^2+9y^2-36)(4x^2-27y)>0 \]
(3)$2$つのさいころを同時に投げる.出る目の数の積を$n$とし,直線$3x+5y=n$と$x$軸,$y$軸との交点をそれぞれ$(a,\ 0)$,$(0,\ b)$とする.$a$と$b$がどちらも自然数となる確率を求めなさい.