「x^3」について
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国立 鹿児島大学 2016年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ．また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ．
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ．
(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ．また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ．
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
国立 宮崎大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．
国立 奈良教育大学 2016年 第1問以下の問に答えよ．
(1)次の和を求めよ．
\[ S=2+4x+6x^2+8x^3+\cdots +2nx^{n-1} \]
(2)$0<a<1$のとき，$\log_3 a$と$\log_a 3$の大小を比較せよ．
(1)次の和を求めよ．
\[ S=2+4x+6x^2+8x^3+\cdots +2nx^{n-1} \]
(2)$0<a<1$のとき，$\log_3 a$と$\log_a 3$の大小を比較せよ．
国立 茨城大学 2016年 第3問$a$を実数の定数とする．$\displaystyle f(x)=x^3-ax^2+\frac{1}{3}(a^2-4)x$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)定数$a$の値にかかわらず関数$y=f(x)$は必ず極値をもつことを証明せよ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が$-1<x<2$の範囲に相異なる$3$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(1)定数$a$の値にかかわらず関数$y=f(x)$は必ず極値をもつことを証明せよ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が$-1<x<2$の範囲に相異なる$3$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
国立 岩手大学 2016年 第4問曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=x^3-2kx^2+(k+3)x+5$が極値をもたないように，定数$k$の値の範囲を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos 3x \cos x| \, dx$を求めよ．
(3)複素数$z$が$|z-2i|=2$を満たすとき，$|z-2 \sqrt{3|}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$z$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)関数$f(x)=x^3-2kx^2+(k+3)x+5$が極値をもたないように，定数$k$の値の範囲を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos 3x \cos x| \, dx$を求めよ．
(3)複素数$z$が$|z-2i|=2$を満たすとき，$|z-2 \sqrt{3|}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$z$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
国立 岩手大学 2016年 第4問曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
国立 東京学芸大学 2016年 第1問整式$P(x)$を$Q(x)=x^3-7x^2+14x-8$で割ると，余りが$x+8$である．$P(16)=3P(2)$のとき，$P(x^2)$を$Q(x)$で割った余りを求めよ．