座標平面において，$x$軸上に$3$点$(0,\ 0)$，$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0) (0<\alpha<\beta)$があり，曲線$C:y=x^3+ax^2+bx$が$x$軸とこの$3$点で交わっているものとする．ただし，$a,\ b$は実数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．$S$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ．
(2)$\beta$の値を固定して，$0<\alpha<\beta$の範囲で$\alpha$を動かすとき，$S$を最小とする$\alpha$を$\beta$の式で表せ．

整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について，次の問いに答えよ．

(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件

$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$

をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．

整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について，次の問いに答えよ．

(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件

$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$

をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$について次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．

$a$を正の定数とする．曲線$y=x^3-ax$を$C$とし，直線$y=b$を$\ell$とする．$C$と$\ell$がちょうど$2$点を共有しているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$a=3$で$b$が正のとき，$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a$を正の実数とし，曲線$y=x^3$を$C_1$，曲線$\displaystyle y=\frac{9}{8}ax^2$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の共通接線で$C_1$と$2$点を共有するものを$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標$p$を求めよ．さらに$\displaystyle I=\int_0^p \left( \frac{9}{8}ax^2-x^3 \right) \, dx$とするとき，比$S:I$を最も簡単な整数比で表せ．

多項式$P(x)$を
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき，係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$に対して，
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて，多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える．$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として，$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく．このとき，$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し，$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-5x^2+6x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ．
(2)$a$を$0$以上の定数とし，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$を変化させたとき，$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

実数$a,\ b$に対し，関数
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち，その極値が$0$以上になるとする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき，$a-2b$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．

(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．