座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円と放物線$y=\sqrt{2}(x-1)^2$は，ただ$1$つの共有点$(a,\ b)$をもつとする．

(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ．
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$a$は実数とする．関数$f(x)=2x^2-4 |x|+a$と$g(x)=|x|-a$について，次の問いに答えよ．

(1)$2$つの関数のグラフの共有点の個数とそのときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき，それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．

\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．

$a>0$とする．関数$f(x)=2x^2-4 |x|+a$と$g(x)=|x|-a$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のときの$2$つの関数のグラフをかけ．
(2)$2$つの関数のグラフが$2$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．
(3)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき，それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ．

点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として，法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし，不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする．点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．

(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$，$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ．

(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．

$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．