「x^2」について
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国立 名古屋大学 2016年 第1問曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-1$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
国立 名古屋大学 2016年 第1問曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-2$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-2<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-2<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
国立 名古屋大学 2016年 第4問次の問に答えよ．ただし$2$次方程式の重解は$2$つと数える．
(1)次の条件$(*)$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．
\[ (*) \left\{ \begin{array}{l}
\text{$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解が$c,\ d$である．} \\
\text{$2$次方程式$x^2+cx+d=0$の$2$つの解が$e,\ f$である．} \\
\text{$2$次方程式$x^2+ex+f=0$の$2$つの解が$a,\ b$である．}
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，次の条件$(**)$を満たすとする．
\mon[$(**)$] すべての正の整数$n$について，$a_n,\ b_n$は整数であり，$2$次方程式$x^2+a_nx+b_n=0$の$2$つの解が$a_{n+1},\ b_{n+1}$である．
このとき，
(i) 正の整数$m$で，$|b_m|=|b_{m+1|}=|b_{m+2|}=\cdots$となるものが存在することを示せ．
(ii) 条件$(**)$を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の組をすべて求めよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．
\[ (*) \left\{ \begin{array}{l}
\text{$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解が$c,\ d$である．} \\
\text{$2$次方程式$x^2+cx+d=0$の$2$つの解が$e,\ f$である．} \\
\text{$2$次方程式$x^2+ex+f=0$の$2$つの解が$a,\ b$である．}
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，次の条件$(**)$を満たすとする．
\mon[$(**)$] すべての正の整数$n$について，$a_n,\ b_n$は整数であり，$2$次方程式$x^2+a_nx+b_n=0$の$2$つの解が$a_{n+1},\ b_{n+1}$である．
このとき，
(i) 正の整数$m$で，$|b_m|=|b_{m+1|}=|b_{m+2|}=\cdots$となるものが存在することを示せ．
(ii) 条件$(**)$を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の組をすべて求めよ．
国立 金沢大学 2016年 第2問平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:x^2+(y-5)^2=16,\quad C_2:y=\frac{1}{4}x^2 \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$を同一平面上に図示せよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ C_1:x^2+(y-5)^2=16,\quad C_2:y=\frac{1}{4}x^2 \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$を同一平面上に図示せよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 金沢大学 2016年 第2問曲線$C:x^2+4y^2=4$上を動く点$\mathrm{P}$と，$C$上の定点$\mathrm{Q}(2,\ 0)$，$\mathrm{R}(0,\ 1)$がある．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値と，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$に対して直線$\mathrm{PQ}$を考える．曲線$C$によって囲まれた図形を直線$\mathrm{PQ}$で$2$つに分けたとき，直線$\mathrm{PQ}$の下方にある部分の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値と，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$に対して直線$\mathrm{PQ}$を考える．曲線$C$によって囲まれた図形を直線$\mathrm{PQ}$で$2$つに分けたとき，直線$\mathrm{PQ}$の下方にある部分の面積を求めよ．
国立 金沢大学 2016年 第4問$a,\ b$を実数とする．$f(x)=2 \sqrt{1+x^2}-ax^2$とし，$x$についての方程式$f(x)=b$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
(1)$a>0$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
国立 東京工業大学 2016年 第1問$a$を正の定数とし，放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$を$C_1$とする．
(1)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$\mathrm{P}$と点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( 2a,\ \frac{a^2}{4}-2 \right)$の距離の最小値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を中心とする円$\displaystyle (x-2a)^2+\left( y-\frac{a^2}{4}+2 \right)^2=2a^2$を$C_2$とする．$\mathrm{P}$が$C_1$上を動き，点$\mathrm{R}$が$C_2$上を動くとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離の最小値を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$\mathrm{P}$と点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( 2a,\ \frac{a^2}{4}-2 \right)$の距離の最小値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を中心とする円$\displaystyle (x-2a)^2+\left( y-\frac{a^2}{4}+2 \right)^2=2a^2$を$C_2$とする．$\mathrm{P}$が$C_1$上を動き，点$\mathrm{R}$が$C_2$上を動くとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離の最小値を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第2問$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第4問関数$f(x)=|x^2-4|-3$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．