関数$f(x)=x^2e^x (x>-3)$を考える．


(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．

(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ e)$における接線の方程式を求めよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^x \, dx$を求めよ．

(4)曲線$y=f(x)$と$(2)$で求めた接線と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

定積分$\displaystyle \int_a^{a+1} |e^x-1| \, dx$の値を$I(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$-1 \leqq a \leqq 0$のとき，$I(a)$を$a$で表せ．
(2)$a$が実数全体を動くとき，$I(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$


(2)次の定積分の値を求めよ．


(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$


(2)次の定積分の値を求めよ．


(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$

関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．

以下の問いに答えよ．なお，必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい．
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]

(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(2)$a$を正の実数とし，$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える．

(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ．ただし$a \neq x$とする．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について，傾きが$1$である接線を$\ell$とする．$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ．

(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき，$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．