「面積」について
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国立 東京農工大学 2016年 第4問$xy$平面上の$2$つの曲線
$C_1:y=\log x+2 \quad (x>0)$
$C_2:y=-\log x \quad (x>0)$
を考える．正の実数$p,\ q$について，点$\mathrm{P}(p,\ \log p+2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(q,\ -\log q)$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直であるとする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$\ell_2$の方程式を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{RPQ}=\frac{\pi}{3}$であるとき，線分$\mathrm{PQ}$，曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
$C_1:y=\log x+2 \quad (x>0)$
$C_2:y=-\log x \quad (x>0)$
を考える．正の実数$p,\ q$について，点$\mathrm{P}(p,\ \log p+2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(q,\ -\log q)$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直であるとする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$\ell_2$の方程式を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{RPQ}=\frac{\pi}{3}$であるとき，線分$\mathrm{PQ}$，曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 福島大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
国立 福島大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
国立 福島大学 2016年 第4問二つの楕円
\[ x^2+3y^2=4,\quad 3x^2+y^2=4 \]
で囲まれた図形のうち，下の図の網かけ部分として示された，原点を含む部分を$D$とする．
（図は省略）
(1)$D$を$x$軸のまわりに回転してできる図形の体積を求めなさい．
(2)$D$の面積を求めなさい．
\[ x^2+3y^2=4,\quad 3x^2+y^2=4 \]
で囲まれた図形のうち，下の図の網かけ部分として示された，原点を含む部分を$D$とする．
（図は省略）
(1)$D$を$x$軸のまわりに回転してできる図形の体積を求めなさい．
(2)$D$の面積を求めなさい．
国立 鳥取大学 2016年 第4問曲線$C:x^4-2xy+y^2=0$に関して，以下の問いに答えよ．
(1)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$y$を$x$の式で表し，$x$の値の取り得る範囲を求めよ．
(2)$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$y$を$x$の式で表し，$x$の値の取り得る範囲を求めよ．
(2)$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第1問下図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外部に$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCE}$，$\triangle \mathrm{CAF}$がそれぞれ正三角形になるようにとる．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とおくとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて，$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し，$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ．
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき，$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ．
（図は省略）
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を$b,\ c,\ S$を用いて，$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{DC}^2$を$a,\ b,\ c,\ S$を用いて表し，$\mathrm{DC}^2=\mathrm{EA}^2=\mathrm{FB}^2$が成り立つことを示せ．
(3)$3$つの正三角形の面積の平均を$T$とおくとき，$\mathrm{DC}^2$を$S$と$T$を用いて表せ．
国立 鳥取大学 2016年 第3問曲線$C:x^4-2xy+y^2=0$に関して，以下の問いに答えよ．
(1)$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(2)$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(2)$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問$a$は$0<a<2$を満たす定数とする．$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t^2)$，$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第5問$a$は$0<a<2$を満たす定数とする．$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t^2)$，$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2016年 第4問曲線$\displaystyle y=-x^2+\frac{3}{2}$上の点$\mathrm{P}(x,\ y) (y \geqq 0)$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M$，最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．