関数$y=e^{-x}$で表される曲線を$C$とする．また，$t$は$0<t<2$をみたす実数とし，$x=t$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$y$軸，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸，直線$x=3$，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S_1(t)+S_2(t)$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位である．


(i) $\displaystyle \int_1^e x^9 \log x \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right)=[ロ]$

(iii) $(-1+i)^{21}=[ハ]$


(2)$1333$と$1147$の最大公約数は$[ニ]$である．
(3)方程式$8^x+4^x=9 \times 2^x+9$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$において関数$y=2 \sin^2 x+2 \cos x+1$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}=\sqrt{13}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=24$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=[チ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[リ]$である．

関数$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$のグラフと$x$軸によって囲まれた部分を$A$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)等式$\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}=a+\frac{b}{1+x^2}$が，$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$を定めると，$a=[イ]$，$b=[ロ]$である．
(2)$A$の面積は$[ハ]$である．
(3)$A$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$[ニ]$である．

曲線$y=e^{-x}$を$C$とし，$n$を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[イ]$である．
(2)一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$[ロ]$である．
(3)曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=[ハ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=[ニ]$である．

下図のように，$\mathrm{AB}=63$，$\mathrm{BC}=52$，$\mathrm{CA}=25$である三角形に内接する長方形を作る．このような長方形の面積の最大値を求めよ．
（図は省略）

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる．ただし，$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の成分で表せ．

関数$f(x)=\sqrt{3} \sin x-\cos x$および$g(x)=\sin x+\sqrt{3} \cos x$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$の交点の座標を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$，および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$において，曲線$y=a \sin x$（$a$は定数）を$C_1$，曲線$y=\tan x$を$C_2$とする．$a>1$であるとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

一辺の長さが$2$である正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OD}:\mathrm{DA}=2:1$，辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=3:2$となるように点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$をとる．三角形$\mathrm{ODE}$の面積を求めよ．

$2$次関数$y=-x^2+2x+4 (-2 \leqq x \leqq 3)$の表す曲線において，$x=-2$，$x=3$での端点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{C}$をこの曲線上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフをかけ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．