点$\mathrm{A}$を中心とする半径$3$の円$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円$\mathrm{B}$，点$\mathrm{C}$を中心とする半径$5$の円$\mathrm{C}$の$3$つの円が互いに外接している．円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$との接点を$\mathrm{P}$，円$\mathrm{B}$と円$\mathrm{C}$との接点を$\mathrm{Q}$，円$\mathrm{C}$と円$\mathrm{A}$との接点を$\mathrm{R}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\cos \theta$の値と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{A}$の接線と点$\mathrm{R}$における円$\mathrm{A}$の接線との交点を$\mathrm{I}$とおく．直線$\mathrm{AI}$は$\angle \mathrm{PAR}$を二等分していることを証明せよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円の半径を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフに点$(2,\ -4)$から引いた$2$本の接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)関数$f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と，$(2)$の$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の各問について，答を$[　]$内に記入せよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$1$で，その中心$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$内にあるとする．$\displaystyle \angle \mathrm{BAO}=\frac{\pi}{6}$，$\displaystyle \angle \mathrm{CAO}=\frac{\pi}{4}$のとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[イ]$である．
(2)$1$から$5$までの数字が書かれた玉が，その数字と同じ個数だけ袋に入っている．この袋の中にある$15$個の玉の中から，$3$個の玉を同時に取り出す．玉に書かれた数字の最大値が$4$以下である確率は$[ウ]$であり，玉に書かれた数字の最大値がちょうど$4$である確率は$[エ]$である．

$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$をみたす実数とする．
\[ f(x)=x^2-(2 \cos \theta)x-\sin^2 \theta+\sin \theta+\frac{1}{2} \]
とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(\theta)$とする．$S(\theta)$を最大にする$\theta$の値と，$S(\theta)$の最大値を求めなさい．

\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．

正の実数$a$に対して，$y=ax^2$のグラフを$C_1$，$\displaystyle y=\frac{a^2-1}{a}x^2+\frac{2}{a}x-\frac{1}{a}$のグラフを$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点は点$(1,\ a)$のみであることを示せ．
(2)$C_2$と$x$軸の$0<x<1$の部分との交点は，点$\displaystyle \left( \frac{1}{a+1},\ 0 \right)$のみであることを示せ．
(3)$C_1$の$0 \leqq x \leqq 1$の部分，$C_2$の$\displaystyle \frac{1}{a+1} \leqq x \leqq 1$の部分，および$x$軸の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{a+1}$の部分とで囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$がすべての正の実数を動くとき，$(3)$で求めた面積$S$の最大値を求めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．

曲線$y=\log x$を$C$で表す．$1<p<e$をみたす実数$p$に対し，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ \log p)$における接線を$\ell$とし，$\ell$の方程式を$y=ax+b$とする．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$a$を$p$の式で表しなさい．
(2)$b$を$p$の式で表しなさい．
(3)$x$軸と直線$\ell$および曲線$C$で囲まれた図形$D_1$の面積を$p$の式で表しなさい．
(4)$x$軸と$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積と$D_2$の面積が等しいとき，$p$の値を求めなさい．

$a$と$b$は$a^2>b$をみたす実数であるとする．座標平面において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$から曲線$y=x^2$に引いた$2$つの接線の接点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(3)直線$y=2x-3$を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$が$\ell$上を動くとき，$(2)$の$S$の最小値を求めなさい．

関数$f(x)=x-\log x (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(e,\ f(e))$における接線を$\ell$とする．

(i) $\ell$の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$y=f(x)$，接線$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)曲線$y=f(x)$，曲線$y=\log x$，直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．