正の実数$a$に対して，$y=ax^2$のグラフを$C_1$，$\displaystyle y=\frac{a^2-1}{a}x^2+\frac{2}{a}x-\frac{1}{a}$のグラフを$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $C_1$と$C_2$の共有点は点$(1,\ a)$のみであることを示せ．
(2) $C_2$と$x$軸の$0<x<1$の部分との交点は，点$\displaystyle \left( \frac{1}{a+1},\ 0 \right)$のみであることを示せ．
(3) $C_1$の$0 \leqq x \leqq 1$の部分，$C_2$の$\displaystyle \frac{1}{a+1} \leqq x \leqq 1$の部分，および$x$軸の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{a+1}$の部分とで囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．
(4) $a$がすべての正の実数を動くとき，$(3)$で求めた面積$S$の最大値を求めよ．