$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ 1)$がある．

(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．

関数$f(x)=xe^x$と曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$C$上の点$(t,\ te^t)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)$C$の接線で点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものを求めよ．

(4)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線のうち，接点の$x$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きいものを$\ell$とするとき，$C$と$\ell$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$xyz$空間上に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ \sqrt{3})$をとる．$xy$平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$は，線分$\mathrm{AP}$の長さが$2$で，$a \geqq 0$，$b \geqq 0$となるように動く．このとき線分$\mathrm{AP}$がえがく図形を$F$とする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$を図形$F$上の点とするとき，$z$を$x,\ y$を用いて表せ．
(3)図形$F$，座標平面$x=0$，$y=0$，$z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を，$t$を用いて表せ．
(4)$V$の体積を求めよ．

点$\mathrm{F}(0,\ 1)$を通り，直線$y=-1$に接する円の中心が描く軌跡を曲線$C$とする．このとき，曲線$C$を表す方程式は
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる．

放物線$C:y=x^2$と直線$\ell:y=kx+k (k>0)$に対し，放物線$C$と直線$\ell$の$2$個の交点を$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (a<b)$とする．さらに，点$\mathrm{A}$における放物線$C$の接線を$m_1$，点$\mathrm{B}$における放物線$C$の接線を$m_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ．また，直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ．
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ．
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$，$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる．三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ．また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，

(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．

(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，

(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．

(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．


(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，

(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．

(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．


(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，

(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．

(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数を記入しなさい．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{CA}=9$とする．
このとき$\cos \angle \mathrm{A}=[チ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ツ]$である．
この三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを$\theta$（ただし，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$）とすると$\sin \theta=[テ]$であり，線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ト]$である．また，四角形$\mathrm{ABDC}$の面積は$[ナ]$である．

放物線$y=x^2$上の異なる$2$点を$\mathrm{P}_1(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{P}_2(\beta,\ \beta^2)$とする．ただし$\alpha<\beta$とする．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対し，$S(a,\ b)=b-a^2$とする．次の設問に答えよ．

(1)$S(a,\ b)$の最大値$M(\alpha,\ \beta)$を求めよ．
(2)次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たす線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$上の点の存在範囲の面積を求めよ．

(i) $\displaystyle M(\alpha,\ \beta)=\frac{1}{4}$
(ii) $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2$を通る直線の傾きの絶対値は$1$以下．

$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^x |t-2| \, dt \]
とする．ただし$x \geqq 0$とする．

関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$x=1$，$x=4$で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$である．

関数$f(x)=|x^2-1|-1$について，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$の最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x^2-1|<\frac{1}{2}$を解け．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．