次の問いに答えなさい．

(1)方程式$27x^3-54x^2-12x+24=0$を解きなさい．
\[ x=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$}}{\mkakko{$\mathrm{b}$}},\ \frac{\mkakko{$\mathrm{c}$}}{\mkakko{$\mathrm{d}$}},\ \mkakko{$\mathrm{e}$} \qquad \text{ただし} \mkakko{$\mathrm{a}$} \text{と} \mkakko{$\mathrm{b}$} \text{と} \mkakko{$\mathrm{d}$} \text{は正の数である．}\]
(2)$x,\ y,\ z$が$\displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$をみたすとき，$(x+y)(y+z)(z+x)$の値を求めなさい．
\[ (x+y)(y+z)(z+x)=\mkakko{$\mathrm{f}$} \]
(3)関数$f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|$の最小値$m$と，最小値をとるときの$x$の値を求めなさい．
\[ x=\mkakko{$\mathrm{g}$} \text{のとき} m=\mkakko{$\mathrm{h}$} \text{である．} \]
(4)$a$を正の定数とする．関数$y=x^2+ax-a^2-3a+1$の$-2a \leqq x \leqq 2a$での最大値$M$を最小にする定数$a$の値と$M$の最小値$m$の値を求めなさい．
\[ a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$}} \text{のとき，} m=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$}}{\mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}} \text{である．} \]
ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{n}$}$は正の数である．

関数$f(x)=(x^2+2x)^2+2a(x^2+2x)+b$を考える．ただし$a$と$b$は定数であり，$f(x)$の最小値が$-4$，$f(1)=13$をみたすとする．次の問いに答えなさい．

(1)$X=x^2+2x$とおくと$X \geqq \mkakko{$\mathrm{a}$}$である．
(2)$b=\mkakko{$\mathrm{b}$}a+\mkakko{$\mathrm{c}$}$である．
(3)$\displaystyle f(x)=\left( X+\mkakko{$\mathrm{d}$}a \right)^2+\mkakko{$\mathrm{e}$}a^2+\mkakko{$\mathrm{f}$}a+\mkakko{$\mathrm{g}$}$である．
(4)定数$a$と$b$の値を求めなさい．

$a>\mkakko{$\mathrm{h}$}$のとき，$\displaystyle a=\frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}},\ b=\frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$である．

$a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$}$のとき，$a=\mkakko{$\mathrm{o}$}-\sqrt{\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}},\ b=\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}+\mkakko{$\mathrm{t}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{u}$} \mkakko{$\mathrm{v}$}}$である．

ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$と$\mkakko{$\mathrm{m}$}$は正の数である．

$3$次関数$f(x)=-4x^3+15x^2+18x+a$は，$\displaystyle x=\frac{[ケコ]}{[サ]}$で極小値，$x=[シ]$で極大値をとる．

また，方程式$f(x)=0$の異なる$3$つの実数解のうち$2$つが負となるような定数$a$の範囲は，$\displaystyle [ス]<a<\frac{[セソ]}{[タ]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．$\displaystyle \cos \alpha=\frac{2}{3},\ \sin \beta=\frac{4}{5}$のとき，
\[ \sin (\alpha-\beta)=-\frac{\mkakko{ケ}+\mkakko{コ} \sqrt{\mkakko{サ}}}{15},\quad \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\mkakko{シ}+\mkakko{ス} \sqrt{\mkakko{セ}}}{15} \]
である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とするとき，関数
\[ f(\theta)=\sin \theta+\sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
の最大値は$[ソ]$，最小値は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．

実数$a$の関数$F(a)$が
\[ F(a)=\int_0^1 |x(x-a)| \, dx \]
で与えられているとき，以下の問に答えよ．

(1)$a>0$のとき，$xy$平面上に$y=|x(x-a)|$のグラフを描け．
(2)$F(a)$を求めよ．
(3)$ab$平面上に$b=F(a)$のグラフを描け．
(4)$F(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=-x^2+2ax-2a^2+a+2$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle I=\int_0^a f(x) \, dx$を$a$の式で表せ．
(3)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$(2)$で定めた$I$が最小となるような$a$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{{(\log x)}^2-3}{x} (x>0)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$\log x=t$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_a^{e^3} f(x) \, dx=0$となるような正の数$a$をすべて求めよ．

関数$f(x)=2 \sqrt{1-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ 2 \sqrt{1-a^2})$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<a<1$とする．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$d^2$を$a$を用いて表せ．
(4)$d$の値が最小となるような$a$の値と，そのときの$d$の値を求めよ．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．

$a$を定数として，曲線$y=x^3+x^2+a$に関する次の問いに答えよ．

(1)$x=t$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線が$(1,\ 0)$を通るとき，$a$を$t$の関数として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，接線が$3$本存在する$a$の範囲を求めよ．