関数$f(x)=x^4-2x^2+x$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$2$点で接する直線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$(1)$で求めた直線で囲まれた領域の面積を求めよ．

自然数$k$に対して，関数$f_k(x)=-3x^2-2x+a_k$を考える．ただし，$a_k$は$x$に無関係な数列で$a_1=2$とする．関係式$\displaystyle \int_0^{k+1} f_{k+1}(x) \, dx=\int_0^k f_k(x) \, dx-k^2-k$が満たされるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_k$と$a_{k+1}$との関係式を求めよ．
(2)$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \int_0^k f_k(x) \, dx$を求めよ．

座標空間内の原点を中心とする半径$2$の球$\mathrm{A}$と，点$(t,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球$\mathrm{B}$がある．ただし，$0 \leqq t \leqq 3$とする．次の問いに答えよ．

(1)球$\mathrm{A}$と球$\mathrm{B}$のいずれにも含まれる領域の体積$V(t)$を求めよ．
(2)$V(t)$を$t$の関数としてグラフにかけ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^3 V(t) \, dt$を求めよ．

$a>0$とする．$x>0$で定義された関数$y=x^2+ax-3a^2 \log x$のグラフが$x$軸と共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=5$かつ$ab+bc+ca=4+abc$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の少なくとも一つは$1$であることを示せ．
(2)$x^2-4x+1=0$のとき，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$，$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}$の値を求めよ．
(3)次の関数を微分せよ．
\[ y=x^{\cos x} \quad (x>0) \]

関数$f(x)=\sqrt{2} \cos 2x-3 \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)$\sin x=t$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における解を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$(3)$の$\alpha$について，定積分$\displaystyle \int_0^\alpha f(x) \, dx$の値を求めよ．

$2$つの関数を$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$，$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x$とする．$xy$平面上に，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=g(x)$がある．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式$|f(x)|>|g(x)|$を解け．
(3)$V$の値を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．$xy$平面上に$3$つの曲線$C_1:y=x^2+a^4$，$C_2:y=x^2$，$C_3:y=-x^2+2a^2x-2a^4+4a$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき，$a=[イ]$，$b=[ウ]$，$c=[エ]$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である．
(3)あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$，$160 \, \mathrm{cm}$，$165 \, \mathrm{cm}$，$172 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$175 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$180 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で，分散は$[キ]$である．
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$[ク]$点である．
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ニ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．