平面上の放物線$y=f(x)$が$2$点$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$を通る．

(1)$f(x)=ax^2+bx+c$とするとき，係数$a,\ b,\ c$が満たす条件を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$が区間$0<x<1$で$x$軸と交差する．このときの$x$座標を$f(x)$の式とともに求めよ．
(3)$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形が$2$つの部分からなり，それぞれの面積が互いに等しいという．$f(x)$を求めよ．

$e$を自然対数の底とし，関数$f(x)$を$f(x)=8 \log_e \sqrt{6+\sqrt{9+x^3}}$と定める．このとき，$\displaystyle f^\prime(3)=\frac{[ア]}{[イ]}$である．

$e$を自然対数の底とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{2}{3} \log_e x+2x^2+ax$が極値をもつための$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[キク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．

$a$を実数の定数とし，関数
\[ f(x)=|2x^3-x^2-ax-36| \]
を考える．関数$f(x)$は$x=p$で微分可能で，かつ$f(p)=0$であるとする．このとき
\[ p=[アイ],\quad a=[ウエ] \]
であり，かつ関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[オ]}{[カ]}$では微分可能でない．

次の問いに答えよ．

(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，

$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．

関数$f(x)=(x-k)^2$と$g(x)=-(x-2)^2+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)曲線$y=g(x)$について，傾きが$-2$である接線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
(2)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた範囲にある数とする．さらに，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq (x-k)^2 \\
y \leqq -(x-2)^2+4 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす領域を動くとき，$y+2x$の最大値が$9$となるような$k$の値の範囲を求めよ．

$k$を正の定数とする．関数$f(x)=kx^2-2 \log x+1$について，曲線$y=f(x)$を$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，自然対数の底を$e$で表す．

(1)関数$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．
(2)曲線$C$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=2e$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

関数
\[ f(x)=\log_4 (x-1)+\log_{\frac{1}{2}} (x+1) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$f(3)$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$において，変数$x$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)不等式$f(x) \leqq -2$を解け．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$は実数とする．$3$次方程式$x^3+x^2+ax+b=0$が$1+i$を解にもつとき，$a,\ b$の値を求めよ．また他の解を求めよ．
(2)関数$y=\cos^2 \theta-4 \sin \theta+7$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)初項$\displaystyle \frac{2}{3}$，公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列$\{a_n\}$を考える．初項から第$n$項までの和$S_n$が$0.998$を超える最小の自然数$n$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{(x+e)^2}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$\displaystyle \frac{e}{x(x+e)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+e}$が，$x$についての恒等式となるような定数$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(x+e)} \, dx$を求めよ．
(3)部分積分法を用いて，定積分$\displaystyle \int_1^{e^2} f(x) \, dx$を求めよ．