点Pは数直線上の原点から出発して，「確率$p$で$+1$，確率$1-p$で$+2$」の移動を繰り返す．ただし$0 \leqq p \leqq 1$とする．このような移動を繰り返して自然数$n$の点に到達する確率を$p_n$と表す．次の問に答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．

実数$x,\ y$について，関係式$x^2+xy+y^2 = 3$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$x+y=s,\ xy = t$とおくとき，$t$を$s$の式で表せ．
(2)$s$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$x^2+y^2+x+y=k$とおくとき，$k$を$s$の式で表せ．
(4)$k$のとり得る値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．

自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a$，一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$ \\
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
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(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．

$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$がある．$\pi_1$は$3$点$(1,\ 1,\ 7)$，$(2,\ 1,\ 5)$，$(1,\ 2,\ 5)$を通り，$\pi_2$は$3$点$(2,\ 1,\ 5)$，$(2,\ 3,\ 4)$，$(6,\ 0,\ 5)$を通る．

(1)平面$\pi_2$上の点$(x,\ y,\ z)$は関係式$x+[ソ]y+[タ]z-[$4$][チ]=0$を満たす．
(2)$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$の交線は点$\mathrm{A}(-2,\ [ツ],\ [テ])$を通る．
(3)$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_1$に平行なベクトル$\overrightarrow{a}$は$([ト],\ [ナ],\ -2)$で，$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_2$に平行なベクトル$\overrightarrow{b}$は$([$1$][ニ],\ 10,\ -[ヌ])$である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とすると，$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$に接する半径$15$の球面の中心$\mathrm{P}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} \quad (s>0,\ t>0) \]
を満たすとき，$\mathrm{P}$の座標は$([$2$][ネ],\ [$1$][ノ],\ -22)$である．

次の問いに答えよ．

(1)$8$名のクラスのうち，$3$名が男子学生，$5$名が女子学生とする．グループ研究を課すことになり，クラスを$3$つのグループに分けるとする．ただし，それぞれのグループの人数は$2$人以上，$4$人以下とする．

(i) 学生の性別に関係なくグループ分けをする方法は
\[ [ハ][ヒ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 男子学生のみ，あるいは女子学生のみで構成されるグループを含まないグループ分けの方法は
\[ [フ][ヘ][$0$] \text{通り} \]
ある．

(2)$7$つの異なる映画を$4$回上映する場合を考える．ただし，$1$回の上映に$1$つの映画を上映し，上映する順番は区別しないこととする．

(i) 同じ映画が複数回上映されない場合，上映する場合の数は
\[ [ホ][$5$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 同じ映画を複数回上映してもよい場合，上映する場合の数は
\[ [マ][ミ][$0$] \text{通り} \]
ある．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ 1$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表すものとする．$\displaystyle \sin^2 A=\sin^2 \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$の関係を満たすとき，$a$の値を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$があり，原点$\mathrm{O}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}$という関係が成り立っている．$\mathrm{P}$が，点$(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円周$C$上をうごくとき，

(1)点$\mathrm{Q}$の描く図形$D$を図示せよ．
(2)$C$と$D$の交点の$x$座標をすべて求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ a_1=1,\ b_1=1,\ a_{n+1}=a_n-b_n,\ b_{n+1}=2a_n+4b_n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．

(1)$c_n=a_n+b_n$とおく．$c_n$を求めよ．
(2)$d_n=2a_n+b_n$とおく．$d_n$を求めよ．
(3)$a_n$と$b_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の関係式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

\mon[(i)] $\displaystyle a_1=\frac{1}{4}, a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
\mon[(ii)] $a_1=1, a_{n+1}=2a_n+3^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(2)行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が
\[ A^2-97A+2010E=O \]
を満たすとき，$a+d,\ ad-bc$の値の組をすべて求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(3)$a$を正の実数とするとき，極限値
\[ b=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\cdots +(n+n)^a}{1^a+2^a+\cdots +n^a} \]
を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で，$a \neq 0$とする．$x=t+\alpha$（$\alpha$は定数）とおいて，$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする．このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$R$を正の実数とする．極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ．
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある（単位系は省略）．$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり，気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる．東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており，それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい．駿河湾地震のエネルギーを$E_S$，東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ．簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$，$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し，小数点以下は切り捨てること．