$a,\ b,\ c$を実数とし，
\[ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
とおく．曲線$C:y=f(x)$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$，$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$がある．

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線が平行になるための条件を$s,\ t,\ a$の関係式として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，線分$\mathrm{PQ}$の中点が$C$上にあることを示せ．

$a$を$0<a<1$を満たす定数とし，$x,\ y$が$xy^2=a^3$を満たすとする．$x>0$，$y>0$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$X=\log_a x$，$Y=\log_a y$とおくとき，$X$と$Y$の関係式を求めよ．
(2)$x,\ y$が$\log_a x \cdot \log_a y \geqq 1$を満たすとき，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．

空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし，$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする．$a$を定数として，$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える．

(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．

実数$a,\ b$に対して，座標空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ 0,\ a)$，$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ b)$を考える．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が定める平面上に点$\mathrm{R}(1,\ 1,\ 1)$があるとき，$a$と$b$の関係を求め，$S$の最小値を求めよ．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

$2$つの変量$x,\ y$のデータが，$n$個の$x,\ y$の値の組として
\[ (x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ \cdots,\ (x_n,\ y_n) \]
のように与えられているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$の平均値をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とするとき，変量$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は
\[ s_{xy}=\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n x_ky_k \right)-\overline{x} \; \overline{y} \]
であることを示せ．
(2)これらのデータの間には，$y_k=ax_k+b (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$という関係があるとする．ただし，$a,\ b$は実数で，$a \neq 0$である．変量$x$の標準偏差$s_x$は$0$でないとする．このとき，$x$と$y$の相関係数を求めよ．

$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定める．

$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad 2b_{n+1}=a_n+3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき，次の問に答えよ．

(1)$c_n=a_n+b_n$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定める．

$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad 2b_{n+1}=a_n+3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき，次の問に答えよ．

(1)$c_n=a_n+b_n$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．