タグ「関係」の検索結果

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北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第1問
$a,\ b,\ c$を実数とし,
\[ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
とおく.曲線$C:y=f(x)$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$,$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$がある.

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ.
(2)$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線が平行になるための条件を$s,\ t,\ a$の関係式として求めよ.
(3)$(2)$の条件のもとで,線分$\mathrm{PQ}$の中点が$C$上にあることを示せ.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2016年 第3問
$a$を$0<a<1$を満たす定数とし,$x,\ y$が$xy^2=a^3$を満たすとする.$x>0$,$y>0$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$X=\log_a x$,$Y=\log_a y$とおくとき,$X$と$Y$の関係式を求めよ.
(2)$x,\ y$が$\log_a x \cdot \log_a y \geqq 1$を満たすとき,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第5問
空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$,$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし,$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする.$a$を定数として,$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える.

(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{P}$を中心とし,$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ.
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき,平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し,その焦点と準線を$a$を用いて表せ.
大阪教育大学 国立 大阪教育大学 2016年 第2問
実数$a,\ b$に対して,座標空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{P}(1,\ 0,\ a)$,$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ b)$を考える.三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が定める平面上に点$\mathrm{R}(1,\ 1,\ 1)$があるとき,$a$と$b$の関係を求め,$S$の最小値を求めよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第3問
数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき,次の問に答えよ.

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3)すべての自然数$n$に対し,$a_n \neq 0$であることを示せ.
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ.
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
山形大学 国立 山形大学 2016年 第4問
数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき,次の問に答えよ.

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3)すべての自然数$n$に対し,$a_n \neq 0$であることを示せ.
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ.
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
山形大学 国立 山形大学 2016年 第2問
数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき,次の問に答えよ.

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3)すべての自然数$n$に対し,$a_n \neq 0$であることを示せ.
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ.
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
信州大学 国立 信州大学 2016年 第1問
$2$つの変量$x,\ y$のデータが,$n$個の$x,\ y$の値の組として
\[ (x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ \cdots,\ (x_n,\ y_n) \]
のように与えられているとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$x,\ y$の平均値をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とするとき,変量$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は
\[ s_{xy}=\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n x_ky_k \right)-\overline{x} \; \overline{y} \]
であることを示せ.
(2)これらのデータの間には,$y_k=ax_k+b (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$という関係があるとする.ただし,$a,\ b$は実数で,$a \neq 0$である.変量$x$の標準偏差$s_x$は$0$でないとする.このとき,$x$と$y$の相関係数を求めよ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第1問
$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定める.

$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad 2b_{n+1}=a_n+3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき,次の問に答えよ.

(1)$c_n=a_n+b_n$とおくとき,$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ.
(2)$c_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
香川大学 国立 香川大学 2016年 第1問
$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定める.

$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad 2b_{n+1}=a_n+3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき,次の問に答えよ.

(1)$c_n=a_n+b_n$とおくとき,$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ.
(2)$c_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
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「関係」とは・・・

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