「長さ」について
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私立 神奈川大学 2016年 第2問円$C:x^2+y^2-4y+3=0$と直線$\ell:2ax-y-2a=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．
(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるときの，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．
(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるときの，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．
私立 甲南大学 2016年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{ABD}={30}^\circ$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
私立 甲南大学 2016年 第2問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{ABD}={30}^\circ$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
私立 工学院大学 2016年 第3問$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}={72}^\circ$，$\mathrm{BC}=2$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．
(1)線分$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．
私立 東京経済大学 2016年 第2問長さ$3$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上を点$\mathrm{P}$が動いている．$\angle \mathrm{PAB}={15}^\circ$のとき，$\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{[キ] \left( \sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]} \right)}{[コ]}$である．また，$\angle \mathrm{PAB}=\theta$とおくとき，$\sqrt{3} \mathrm{AP}+\mathrm{BP}$の値が最大となるのは，$\displaystyle \theta=\frac{[サ]}{[シ]} \pi$のときで，最大値は$[ス]$である．
私立 福岡大学 2016年 第5問$3$次方程式$x^3+3x^2+3x-7=0$の$3$つの解のうち，実数解を$\alpha$とし，他の$2$つの解を$\beta,\ \gamma$とする．複素平面上の点を$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の長さは$[ ]$であり，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさは$[ ]$である．
私立 広島経済大学 2016年 第4問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=3$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$である．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さは$[$31$]$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$[$32$]$である．
(3)円の半径は$\displaystyle \frac{[$33$] \sqrt{[$34$]}}{[$35$]}$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$36$] \sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．
(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さは$[$31$]$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$[$32$]$である．
(3)円の半径は$\displaystyle \frac{[$33$] \sqrt{[$34$]}}{[$35$]}$である．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$36$] \sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
私立 東京薬科大学 2016年 第4問$2$つの動点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，一辺の長さが$1$の立方体の辺上を，毎秒$1$の速さで，次の規則にしたがって移動する．
\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．
(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．
\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．
(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．
私立 東洋大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．
(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．
(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．