「部分」について
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(9ページ目:全894問中81問~90問を表示)![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^x |t-2| \, dt \]
とする.ただし$x \geqq 0$とする.
関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸,$x=1$,$x=4$で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$である.
\[ f(x)=\int_0^x |t-2| \, dt \]
とする.ただし$x \geqq 0$とする.
関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸,$x=1$,$x=4$で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
$xy$平面上の原点を中心とする単位円を底面とし,点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 1)$を頂点とする円錐を$\mathrm{K}$とする.$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき,円錐$\mathrm{K}$の表面および内部が通過する部分の体積は$\displaystyle \frac{\pi+[ナ]}{[ニ]}$である.
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関数$f(x)=|x^2-1|-1$について,次の問に答えよ.
(1)関数$f(x)$の最小値,およびそのときの$x$の値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ.
(2)不等式$\displaystyle |x^2-1|<\frac{1}{2}$を解け.
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(1)関数$f(x)$の最小値,およびそのときの$x$の値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ.
(2)不等式$\displaystyle |x^2-1|<\frac{1}{2}$を解け.
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
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座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が,$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている.また$\mathrm{O}$を原点とする.実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して,線分$\mathrm{OP}_a$と,動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と,線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく.次の問に答えよ.
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている.また$\mathrm{O}$を原点とする.実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して,線分$\mathrm{OP}_a$と,動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と,線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく.次の問に答えよ.
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする.ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする.点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$,点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする.直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき,その点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,以下の問に答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし,$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ.
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり,そのときの点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である.
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし,$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ.
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり,そのときの点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする.ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする.点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$,点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする.直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき,その点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,以下の問に答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし,$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ.
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり,そのときの点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である.
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし,$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ.
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり,そのときの点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である.
![星薬科大学](./img/univ/hoshiyakka.png)
$x$の$3$次式$f(x)$が等式
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき,次の問に答えよ.
(1)このとき,$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である.
(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき,$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり,この$\ell$は,点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる.
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である.
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき,次の問に答えよ.
(1)このとき,$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である.
(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき,$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり,この$\ell$は,点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる.
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である.
![学習院大学](./img/univ/gakushuin.png)
平面上で,曲線$\displaystyle C:y=\frac{2}{x^2+1}$を考える.
(1)$C$は変曲点を$2$つもつ.その$2$点の座標を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を,それぞれ$L_1,\ L_2$とする.$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)$C$は変曲点を$2$つもつ.その$2$点の座標を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を,それぞれ$L_1,\ L_2$とする.$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ.
![東北学院大学](./img/univ/tohokugakuin.png)
関数$f(x)=-x^2+1$について以下の問いに答えよ.
(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$A$を求めよ.
(2)$0<t<1$とする.$A$から,$4$点$(1,\ 0)$,$(t,\ -t^2+1)$,$(-t,\ -t^2+1)$,$(-1,\ 0)$を結んでできる台形の面積を引いた残りの面積$S(t)$を求めよ.
(3)$S(t)$の最小値を求めよ.
(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$A$を求めよ.
(2)$0<t<1$とする.$A$から,$4$点$(1,\ 0)$,$(t,\ -t^2+1)$,$(-t,\ -t^2+1)$,$(-1,\ 0)$を結んでできる台形の面積を引いた残りの面積$S(t)$を求めよ.
(3)$S(t)$の最小値を求めよ.
![愛知工業大学](./img/univ/aichikougyou.png)
$n$を自然数とする.$xy$平面において,$2$つの放物線$y=nx^2$,$x=(n+1)y^2$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする.
(1)$S_n$を求めよ.
(2)無限級数$S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots$の和を求めよ.
(1)$S_n$を求めよ.
(2)無限級数$S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots$の和を求めよ.