曲線$y^2=(x-1)^2(2x-x^2)$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

$xy$平面において，連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 2\pi,\quad \cos x \leqq y \leqq \sin x \]
の表す領域を$D$とおく．また，$D$のうち$y \geqq 0$の部分を$E$とおく．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$k$を正の定数とする．関数$f(x)=kx^2-2 \log x+1$について，曲線$y=f(x)$を$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，自然対数の底を$e$で表す．

(1)関数$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．
(2)曲線$C$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=2e$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+8x$がある．この曲線に傾きが$-1$である$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．$C$と$\ell_1$で囲まれる部分の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の和を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+8x$がある．この曲線に傾きが$-1$である$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．$C$と$\ell_1$で囲まれる部分の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の和を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{(x+e)^2}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$\displaystyle \frac{e}{x(x+e)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+e}$が，$x$についての恒等式となるような定数$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(x+e)} \, dx$を求めよ．
(3)部分積分法を用いて，定積分$\displaystyle \int_1^{e^2} f(x) \, dx$を求めよ．

曲線$C:y=ax^2-6ax (x \leqq 3)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は$2$である．以下の問いに答えよ．ただし，$a$は負の定数とする．

(1)$C$の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$で$\ell$と垂直に交わる直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(4)$C$と$m$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S_2(a)$を求めよ．

曲線$C:y=\sqrt{2x}$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は$4$である．以下の問いに答えよ．

(1)$C$の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$の点$\mathrm{A}$における法線$m$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(4)$C$と$m$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{P}$が単位円周上の$y \geqq 0$の部分を動くとき，点$\mathrm{P}$から単位円周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$までの距離の和$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$を$L$とする．以下，$L$の最大値を求める．点$\mathrm{P}$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$とおき，$L$を$\theta$の式で表すと，


$\displaystyle L=\sqrt{(\cos \theta-[ア])^2+\sin^2 \theta}+\sqrt{(\cos \theta+[イ])^2+\sin^2 \theta}$

$\displaystyle +\sqrt{\left( \cos \theta-\frac{1}{[ウ]} \right)^2+\left( \sin \theta-\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \right)^2}$


と表される．整理すると，たとえば，点$\mathrm{P}$が第$2$象限にあるとき，
\[ L=\left( [カ]+\sqrt{[キ]} \right) \sin \frac{\theta}{[ク]}+\cos \frac{\theta}{[ケ]} \]
となり，適当な実数$\alpha$を用いて
\[ L=\sqrt{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}} \sin \left( \frac{\theta}{[ス]}+\alpha \right) \]
と表すことができる．よって，$L$の最大値は，$\sqrt{[セ]}+\sqrt{[ソ]}$である．ただし，$[セ]>[ソ]$とする．