次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．

\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である．このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である．次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである．

\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}


(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について，$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$，$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ．
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ．
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった．このとき，$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．

次の$[　]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．

(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．

(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．

(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．

次の$(1),\ (2)$から$1$題を選択し解答せよ．

(1)等式$\displaystyle |\displaystyle\frac{i|{z}-1}=|\displaystyle\frac{1|{z}-k}$を満たすすべての複素数$z$に対して不等式$|z| \leqq 2$が成り立つような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)実数$k$と$2$次の正方行列$A$は$A^2-kA+3E=O$を満たすとする．また，座標平面上で$A$の表す移動によって，点$(1,\ 1)$は点$(3,\ 3)$へ移り，直線$y=-x$上の点は同じ直線上の点に移るとする．このとき，$A$を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列を表す．

次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．

\mon[$\tocichi$] 数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=k+\cos \left( \frac{k\pi}{6} \right)$で定める．$n$を正の整数とする．

\mon[$(1)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} a_k$を求めよ．
\mon[$(2)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} {a_k}^2$を求めよ．

\mon[$\tocni$] $a,\ b,\ c$は異なる$3$つの正の整数とする．次のデータは$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$10$人の得点をまとめたものである．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ & $⑥$ & $④chi$ & $\maruhachi$ & $\marukyu$ & $\marujyu$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $a$ & $c$ & $a$ & $b$ & $b$ & $a$ & $c$ & $c$ & $b$ & $c$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $a$ & $b$ & $b$ & $b$ & $a$ & $a$ & $b$ & $a$ & $b$ & $a$ \\ \hline
\end{tabular}

科目$\mathrm{X}$の得点の平均値と科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値とは等しいとする．
\mon[$(1)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の分散を$s_{\mathrm{X}}^2$，科目$\mathrm{Y}$の得点の分散を$s_{\mathrm{Y}}^2$とする．$\displaystyle \frac{s_{\mathrm{X}}^2}{s_{\mathrm{Y}}^2}$を求めよ．
\mon[$(2)$] 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数を，四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
\mon[$(3)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の中央値が$65$，科目$\mathrm{Y}$の得点の標準偏差が$11$であるとき，$a,\ b,\ c$の組を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき
\[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \]
を示せ．
次の$3$題$(2)$～$(4)$から$1$題選択して解答せよ．
(2)$12$個のサイコロを同時に投げたとき，$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする．$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ．
(3)$a$を正の整数とし，$p,\ q$を素数とする．このとき，$2$次方程式
\[ ax^2-px+q=0 \]
の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に，異なる$2$点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を，$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ．$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と，$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき
\[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \]
となることを示せ．

必答問題$(1)$，$(2)$の$2$問と，選択問題$(3)$，$(4)$のいずれか$1$問を選択し，計$3$問を解答せよ．

(1)（必答）$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(2)（必答）$3$直線$4x-3y+3=0$，$x-4y+4=0$，$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．
(3)（選択）複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき，$z^2$，$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)（選択）$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，$B^{-1}AB$，$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

（選択）行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
1 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \]
とする．次の問いに答えよ．

\mon[$(1)$] 行列$A$の表す$1$次変換が点$(2,\ 1)$を点$\mathrm{P}_1$に移すとする．$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
\mon[$(2)$] 次の等式が成立する実数$k,\ t$の組をすべて求めよ．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
k \\
kt
\end{array} \right) \]
\mon[$(3)$] $A^2$を求めよ．
\mon[$(4)$] 行列$A^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の表す$1$次変換が点$(2,\ 1)$を点$\mathrm{P}_n$に移すとする．$\mathrm{P}_{2m-1} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の座標を求めよ．

ある村では公共サービス$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$を提供している．提供された$\mathrm{X}$の量を$x$，$\mathrm{Y}$の量を$y$で表わす．技術的条件や予算の制約によって$(x,\ y)$が実現するのは$x,\ y$がつぎの不等式をみたすときである．
\[ \begin{array}{l}
x+y \leqq 200 \\
x+5y \leqq 790 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
3x+4y \leqq 720 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
x,\ y \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
$(x,\ y)$が実現する領域は$5$角形であり，その$5$頂点は$(0,\ 0)$，$(200,\ 0)$，$(0,\ 158)$および$\mathrm{A}([$53$][$54$][$55$],\ [$56$][$57$][$58$])$，$\mathrm{B}(80,\ [$59$][$60$][$61$])$である．

現在，一般の村民は$xy$が最大になることを望んでおり，一方，村の有力者一族は$x+10y$が最大になることを望んでいる．村長は$x$と$y$を自由に選ぶことができるが，両方の意向を尊重して
\[ \alpha xy+(1-\alpha)(x+10y) \quad (0<\alpha<1) \]
を最大化する方針をとった．
仮に，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}$ならば村長の選択は$(x,\ y)=([$62$][$63$],\ [$64$][$65$][$66$])$となる．
村長は最大化のために選択すべき点を線分$\mathrm{AB}$上にとることにした．しかし，予算上端点$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も選択することが認められないことがわかった．すると，$\alpha$は
\[ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$][$70$][$71$]}<\alpha<\frac{[$72$][$73$]}{133} \]
の範囲に限定される．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2x-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$[ア]$である．また，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$とすると，${[x]}^2-2[x]-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=1,\quad a_2=\frac{4}{3},\quad 3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，数列$\{a_{n+1}-pa_n\}$が公比$q$の等比数列になるような定数$p,\ q$の組は$(p,\ q)=[ウ]$であり，一般項$a_n$は$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}=\sqrt{3}-2$となるのは$\tan \theta=[オ]$のときであり，これをみたす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の値は$\theta=[カ]$である．
(4)$a$を実数とし，$\displaystyle f(a)=\int_{-1}^2 {(x-a |x|)}^2 \, dx$とする．$f(a)$は$a=[キ]$のとき，最小値$[ク]$をとる．
(5)$\tan x=t$とおくとき，$\sin 2x$を$t$で表すと$\sin 2x=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin 2x} \, dx=[コ]$である．

\mon[（注）] 次の$(6),\ (7)$は選択問題である．

(6)大小$2$つのさいころを投げて，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの異なる実数解をもつ確率は$[サ]$，重解をもつ確率は$[シ]$，実数解をもたない確率は$[ス]$である．
(7)平面上で，半径$3$の円$C_1$と半径$5$の円$C_2$が点$\mathrm{P}$で外接している．$1$本の直線が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で円$C_1,\ C_2$とそれぞれ接しているとき，$\mathrm{QR}=[セ]$である．また，直線$\mathrm{QP}$と円$C_2$との，$\mathrm{P}$と異なる交点を$\mathrm{S}$とするとき，$\mathrm{SR}=[ソ]$である．

次の$(1)$，$(2)$から$1$問選択しなさい．

(1)$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 2)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{7}$とする．

(i) $\angle \mathrm{A}$を求めなさい．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径を求めなさい．