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鳴門教育大学 国立 鳴門教育大学 2016年 第4問
次の問いに答えなさい.

(1)$10$進数$999$以下の自然数で,$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるものの個数を求めなさい.
(2)自然数$n$を$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であるとします.このとき,$n$を$9$進法で表せば,各位の数字が$0,\ 1,\ 3,\ 4$のいずれかになることを示しなさい.
(3)$10$進数$999$以下の自然数で,$3$進法で表したとき各位の数字が$0$または$1$であり,かつ,$9$進法で表したとき各位の数字が$1$または$3$であるものの個数を求めなさい.
京都薬科大学 私立 京都薬科大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.ただし,$[コ]$においては,$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ.

(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
名城大学 私立 名城大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる答えを記入せよ.

(1)$100$未満の自然数で,$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個,$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である.
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
(図は省略)
}
右図において,点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心,点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=4$,$\mathrm{CA}=6$とする.このとき,$\mathrm{BD}=[ウ]$であり,$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である.
\end{mawarikomi}

(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは,それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である.このとき,$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり,$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である.
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える.$a=5$のとき,この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である.また,この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき,整数$a$の値は$[ク]$である.
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,$\sin 2\theta=[ケ]$,$\cos 2\theta=[コ]$である.
(6)$a,\ b$は自然数で,$a^5 b^2$が$20$桁の数であり,かつ,$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする.このとき,$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると,$m=[サ]$,$n=[シ]$である.
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき,$k$の最大値は$[ス]$である.また,この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき,$a$の最小値は$[セ]$である.
広島経済大学 私立 広島経済大学 2015年 第5問
次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ.

(1)$n$を自然数とする.$\displaystyle \sqrt{\frac{540}{n}}$は$n=[$48$]$のとき最大の自然数$[$49$]$になる.

(2)積が$640$,最大公約数が$8$である$2$つの自然数の和は$[$50$]$または$[$51$]$である.但し$[$50$]<[$51$]$とする.
(3)$3x+7y=49$を満たす自然数$x$と$y$の組$(x,\ y)$は$([$52$],\ [$53$])$と$([$54$],\ [$55$])$である.但し$[$52$]<[$54$]$とする.
(4)$3$進数$1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$[$56$]$である.また,$3$進数$0.1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$\displaystyle \frac{[$57$]}{[$58$]}$である.
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