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広島大学 国立 広島大学 2016年 第3問
複素数平面上を,点$\mathrm{P}$が次のように移動する.

(i) 時刻$0$では,$\mathrm{P}$は原点にいる.時刻$1$まで,$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると,$z_1=1$である.
(ii) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると,$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である.
(iii) 以下同様に,時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする.ただし$n$は自然数である.

$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として,次の問いに答えよ.

(1)$z_3,\ z_4$を求めよ.
(2)$z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき,$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく.$w$を求めよ.
(4)$z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=[ア]$,$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である.
(2)高さが$1$の円錐を,頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する.体積が$2$等分されるのは,$a=[ウ]$のときである.
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である.
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$,$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$,$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると,$A+B+C=[オ]$である.
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である.
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが,円形のテーブルの周りに座る.子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある.ただし,回転して一致するものは同じ座り方とみなす.
(7)半透明のガラス板がある.光がガラス板$1$枚を通ると,その強さが$8$割に減る.光の強さが当初の$1$割未満となるのは,ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである.ただし,必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ.
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを,$\mathrm{A}$は徒歩で,$\mathrm{B}$は自転車で,同じ地点から同時にスタートし,同じ方向に回る.自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき,$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと,$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は,スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である.
東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2016年 第4問
$2$つの動点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は,一辺の長さが$1$の立方体の辺上を,毎秒$1$の速さで,次の規則にしたがって移動する.


\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり,同時に移動を開始する.
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも,$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する.

自然数$n$について,移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする.以下の問に答えよ.


(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である.

(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である.
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である.
京都府立大学 公立 京都府立大学 2016年 第2問
$a_1,\ a_2,\ c_1,\ c_2,\ c_3$を実数とする.$xyz$空間で,正四面体$\mathrm{OABC}$の座標が,$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 6,\ 0)$,$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$であり,$a_1>0$,$c_3>0$であるとする.動点$\mathrm{P}$は,$\mathrm{O}$を出発して辺$\mathrm{OC}$上を一定の速さで動き,$2$秒かかって$\mathrm{C}$に到着する.動点$\mathrm{Q}$は,$\mathrm{P}$が出発してから最初の$1$秒間は$\mathrm{B}$に静止しており,その後,一定の速さで辺$\mathrm{BA}$上を動き,$1$秒かかって$\mathrm{A}$に到着する.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ.
(2)$c_1,\ c_2,\ c_3$の値を求めよ.
(3)$\mathrm{P}$が出発してから$t$秒後($0 \leqq t \leqq 2$)における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$の最小値を求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2015年 第4問
座標空間の$x$軸上に動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は時刻$0$において,原点を出発する.$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に,$\mathrm{Q}$は$x$軸の負の方向に,ともに速さ$1$で動く.その後,ともに時刻$1$で停止する.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の球をそれぞれ$A,\ B$とし,空間で$x \geqq -1$の部分を$C$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ.
(2)$V(t)$の最大値を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第4問
平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり,点$(-1,\ 0)$で接している.

点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き,点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く.二点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する.$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り,$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする.$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく.
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して,その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第6問
平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり,点$(-1,\ 0)$で接している.

点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き,点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く.二点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する.$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り,$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする.$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく.
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して,その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ.
和歌山県立医科大学 公立 和歌山県立医科大学 2015年 第3問
$xyz$空間の原点を$\mathrm{O}$とし,点$(0,\ 0,\ 1)$と点$(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする.点$\mathrm{P}$は,時刻$t=0$のとき$(-4,\ 0,\ 0)$にあって,$x$軸上を正の向きに速さ$1$で動いている.点$\mathrm{Q}$は,$t=0$のとき$(0,\ 0,\ 1)$にあって,直線$\ell$上を$x$座標が増えるように速さ$2$で動いている.

(1)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標を$t$の式で表せ.
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を$t$の式で表せ.
(3)$-0.33 \leqq t \leqq 2.6$のときの$S$の最大値と最小値,およびそれらをとる$t$の値を求めよ.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2014年 第2問
毎秒$a \, \mathrm{m}$の速さで真上に投げ上げた球の$t$秒後の高さ$h \, \mathrm{m}$は$h=at-5t^2$と表されるとする.次の問いに答えよ.ただし,$a>0$とする.

(1)$a=10$のとき,最高何$\mathrm{m}$の高さに達するか.
(2)最高点の高さが$20 \, \mathrm{m}$のとき,$a$の値を求めよ.
(3)最高点に達してから$1$秒後の高さが$35 \, \mathrm{m}$のとき,$a$の値を求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2013年 第1問
次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ.また空欄$[ウ]$~$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)ある自然数$n$について,命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$,対偶は$[イ]$である.
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である.
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき,$\theta=[カ]$である.ただし,$0 \leqq \theta<\pi$とする.
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である.
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である.
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した.スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き,その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ,平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった.このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である.
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく,なす角が${60}^\circ$のとき,$x$の値は$[コ]$,$[サ]$である.
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと,$[シ]$となる.
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