「証明」について
タグ「証明」の検索結果
(8ページ目:全1924問中71問~80問を表示)![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$a,\ b,\ c$は整数とする.次の問いに答えよ.
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば,$a+b$は偶数であることを示せ.
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば,$ab$は奇数であることを示せ.
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと,$ab$が偶数であることは同値であることを示せ.
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば,$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ.
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば,$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ.
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば,$a+b$は偶数であることを示せ.
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば,$ab$は奇数であることを示せ.
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと,$ab$が偶数であることは同値であることを示せ.
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば,$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ.
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば,$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ.
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め,数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.
\mon[(ア)] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.
\mon[(イ)] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
\mon[(ウ)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ.
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め,数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.
\mon[(ア)] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.
\mon[(イ)] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
\mon[(ウ)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
$a,\ b$を正の定数とし,$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする.正の実数$r,\ s$に対して,円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える.
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき,すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき,$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ.
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を,$rs$平面上に図示せよ.
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき,極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ.
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする.正の実数$r,\ s$に対して,円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える.
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき,すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき,$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ.
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を,$rs$平面上に図示せよ.
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき,極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
複素数平面上を動く点$z$を考える.次の問いに答えよ.
(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ.
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる.この図形を描け.
(3)$a$を正の実数とする.点$z$が虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる.この円の中心と半径を求めよ.
(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ.
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる.この図形を描け.
(3)$a$を正の実数とする.点$z$が虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる.この円の中心と半径を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
分母が奇数,分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする.例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$,$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから,ともに控えめな有理数である.$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して,集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を,
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める.例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから,$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である.
(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ.
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき,$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ.
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ.
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか.ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし,$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える.
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める.例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから,$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である.
(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ.
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき,$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ.
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ.
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか.ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし,$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.このとき等式
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする.$t$は実数の定数で,$0<t<1$を満たすとする.線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.また,線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき,線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(3)$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする.このとき,$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ.
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする.$t$は実数の定数で,$0<t<1$を満たすとする.線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.また,線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき,線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(3)$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする.このとき,$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$\triangle \mathrm{PQR}$において$\angle \mathrm{RPQ}=\theta$,$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{\pi}{2}$とする.点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次で定める.
\[ \mathrm{P}_1=\mathrm{P},\quad \mathrm{P}_2=\mathrm{Q},\quad \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2}=\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \]
ただし,点$\mathrm{P}_{n+2}$は線分$\mathrm{P}_n \mathrm{R}$上にあるものとする.実数$\theta_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ \theta_n=\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2} \quad (0<\theta_n<\pi) \]
で定める.
(1)$\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ.
(2)$\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ.
(図は省略)
\[ \mathrm{P}_1=\mathrm{P},\quad \mathrm{P}_2=\mathrm{Q},\quad \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2}=\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \]
ただし,点$\mathrm{P}_{n+2}$は線分$\mathrm{P}_n \mathrm{R}$上にあるものとする.実数$\theta_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ \theta_n=\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2} \quad (0<\theta_n<\pi) \]
で定める.
(1)$\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ.
(2)$\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ.
(図は省略)
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
複素数平面の点$\mathrm{A}(1)$を中心とし,原点を通る円を$C$とする.また,$\mathrm{P}(z)$,$\mathrm{Q}(w)$を円$C$上を動く点とし,$\displaystyle 0<\arg{z}<\arg{w}<\frac{\pi}{2}$とする.さらに,$\displaystyle R=\frac{z(w-2)}{w(z-2)}$とおく.
(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ.
(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ.