「証明」について
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(5ページ目:全1924問中41問~50問を表示)![東北大学](./img/univ/tohoku.png)
鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BE}$,$\mathrm{CF}$を下ろす.これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ.
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ.
(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ.
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ.
![東北大学](./img/univ/tohoku.png)
鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BE}$,$\mathrm{CF}$を下ろす.これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ.
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ.
(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ.
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ.
![三重大学](./img/univ/mie.png)
平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$を考える.$m,\ n$は正の実数とする.
(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする.このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ.さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ.
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$,辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$,辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする.このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ.
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ.
(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする.このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ.さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ.
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$,辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$,辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする.このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ.
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$,${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ.
![東北大学](./img/univ/tohoku.png)
以下の問いに答えよ.
(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ.
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ.
(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ.
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ.
![東北大学](./img/univ/tohoku.png)
多項式$P(x)$を
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める.ただし,$i$は虚数単位とする.以下の問いに答えよ.
(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき,係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ.
(2)$0<\theta<\pi$に対して,
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ.
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて,多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える.$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として,$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく.このとき,$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し,$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ.
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める.ただし,$i$は虚数単位とする.以下の問いに答えよ.
(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき,係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ.
(2)$0<\theta<\pi$に対して,
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ.
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて,多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える.$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として,$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく.このとき,$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し,$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ.
![岐阜大学](./img/univ/gihu.png)
$n$を正の整数とする.$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく.以下の問に答えよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$x \neq 1$とする.
(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.
(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.
(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ.
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ.
(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$x \neq 1$とする.
(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.
(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.
(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ.
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ.
![東京工業大学](./img/univ/toukou.png)
水平な平面$\alpha$の上に半径$r_1$の球$S_1$と半径$r_2$の球$S_2$が乗っており,$S_1$と$S_2$は外接している.
(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$とする.線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ.
(2)$\alpha$の上に乗っており,$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える.それらの球と$\alpha$の接点は,$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ.
(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$とする.線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ.
(2)$\alpha$の上に乗っており,$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える.それらの球と$\alpha$の接点は,$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ.
![東京工業大学](./img/univ/toukou.png)
$n$を$2$以上の自然数とする.
(1)$n$が素数または$4$のとき,$(n-1)!$は$n$で割り切れないことを示せ.
(2)$n$が素数でなくかつ$4$でもないとき,$(n-1)!$は$n$で割り切れることを示せ.
(1)$n$が素数または$4$のとき,$(n-1)!$は$n$で割り切れないことを示せ.
(2)$n$が素数でなくかつ$4$でもないとき,$(n-1)!$は$n$で割り切れることを示せ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
次の問いに答えよ.
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ.
(2)$3$以上の整数$n$に対して,不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ.
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ.
(2)$3$以上の整数$n$に対して,不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある.
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき,次の問いに答えよ.
(1)$1$以上の整数$n$に対し,$a_n \neq 0$であることを示せ.
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち,最大のものを$M$とする.$a_n=M$であるような$n$を求めよ.
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき,次の問いに答えよ.
(1)$1$以上の整数$n$に対し,$a_n \neq 0$であることを示せ.
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ.
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち,最大のものを$M$とする.$a_n=M$であるような$n$を求めよ.