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国立 埼玉大学 2016年 第2問$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第1問一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は，この順に反時計回りに並んでいるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
国立 静岡大学 2016年 第3問異なる$n$個のものから$r$個を取る組合せの総数を$\comb{n}{r}$で表す．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$2$以上の自然数$k$について，
\[ \comb{k+3}{4}=\comb{k+4}{5}-\comb{k+3}{5} \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \comb{k+3}{4}$を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^4+6k^3)$を求めよ．
(1)$2$以上の自然数$k$について，
\[ \comb{k+3}{4}=\comb{k+4}{5}-\comb{k+3}{5} \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \comb{k+3}{4}$を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^4+6k^3)$を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第3問数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
国立 三重大学 2016年 第3問数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
国立 三重大学 2016年 第3問数列$\{x_n\}$は
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
\[ (n-1)x_{n+2}-(n^2+n-1)x_{n+1}+n^2x_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする．
(1)$x_2$を$x_1$で表せ．また$x_4$を$x_1$と$x_3$で表せ．
(2)$y_n=x_{n+2}-x_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$y_n$を$y_1$と$n$で表せ．
(3)数学的帰納法で$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1$を示せ．
(4)$x_{n+2} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を$x_1,\ x_3$と$n$で表せ．
国立 三重大学 2016年 第4問$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第3問以下の$a,\ b,\ c$はいずれも正の実数とする．
(1)「$ab$が有理数ならば，${(a+b)}^2$は有理数である」という主張が正しければ証明し，誤りならば反例を与えよ．
(2)$ab,\ ac,\ bc$が有理数ならば，$a^2$は有理数であることを示し，さらに${(a+b+c)}^2$は有理数であることを示せ．
(3)$ab,\ ac,\ bc$が有理数で，さらに${(a+b+c)}^3$が有理数となるならば，$a,\ b,\ c$はそれぞれ有理数であることを示せ．
(1)「$ab$が有理数ならば，${(a+b)}^2$は有理数である」という主張が正しければ証明し，誤りならば反例を与えよ．
(2)$ab,\ ac,\ bc$が有理数ならば，$a^2$は有理数であることを示し，さらに${(a+b+c)}^2$は有理数であることを示せ．
(3)$ab,\ ac,\ bc$が有理数で，さらに${(a+b+c)}^3$が有理数となるならば，$a,\ b,\ c$はそれぞれ有理数であることを示せ．
国立 三重大学 2016年 第4問$n$を自然数とし，$\displaystyle \mathrm{P}_k \left( \frac{k}{n},\ \log \left( 1+\frac{k}{n} \right) \right) (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$を平面上の$n+1$個の点とする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．
(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のとき，点$\mathrm{P}_{k-1}$と点$\mathrm{P}_k$との距離$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$に対して
\[ \frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k}{n} \right)^2}}<\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k<\frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k-1}{n} \right)^2}} \]
を示せ．
(2)$\displaystyle L_n=\sum_{k=1}^n \mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$としたとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．
(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のとき，点$\mathrm{P}_{k-1}$と点$\mathrm{P}_k$との距離$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$に対して
\[ \frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k}{n} \right)^2}}<\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k<\frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k-1}{n} \right)^2}} \]
を示せ．
(2)$\displaystyle L_n=\sum_{k=1}^n \mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$としたとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．