次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[コ]$においては，$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ．

(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(m)$が最大となるような$m$を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$n$を自然数，$m$を$2n$以下の自然数とする．$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ記されたカードが，それぞれの数に対して$2$枚ずつ，合計$2n$枚ある．この中から，$m$枚のカードを無作為に選んだとき，それらに記された数がすべて異なる確率を$P_n(m)$と表す．ただし$P_n(1)=1$とする．さらに，
\[ E_n(m)=mP_n(m) \]
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$P_3(2),\ P_3(3),\ P_3(4)$を求めよ．
(2)$E_{10}(3),\ E_{10}(4),\ E_{10}(5)$の中で最大のものはどれか．
(3)自然数$n$に対し，
\[ E_n(m)>E_n(m+1) \]
を満たす自然数$m$の最小値を$f(n)$とするとき，$f(n)$を$n$を用いて表せ．ただし，ガウス記号$[ \quad ]$を用いてよい．ここで，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

$3$種類の記号$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．このような記号列のなかで，$a$がちょうど偶数個含まれるようなものの総数を$g(n)$とする．ただし，$0$個の場合も偶数個とみなす．たとえば，$g(1)=2$，$g(2)=5$である．

(1)自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ．
(2)$g(n)$を求めよ．
(3)一般に，$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．ただし，$m \geqq 2$とする．このような記号列のなかで，$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする．自然数$n \geqq 1$に対して，$k_m(n)$を求めよ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．

次の問いに答えなさい．

(1)実数$a,\ b$に関する条件「$a>2$かつ$b \leqq 1$」の否定であるものを次のア～エのうちからひとつ選び，その記号を$[$\mathrm{A]$}$に書きなさい．ただし，該当するものがない場合は「該当なし」と書きなさい．

ア：「$a>2$または$b \leqq 1$」 \qquad イ：「$a \leqq 2$または$b>1$」
ウ：「$a<2$または$b \geqq 1$」 \qquad エ：「$a \leqq 2$かつ$b>1$」

(2)$x$についての整式$P(x)=x^3+kx^2+x+2$を$x-3$で割った余りが$k$となるような定数$k$の値は$k=[$\mathrm{B]$}$である．
(3)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$で，$\tan \alpha=3$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2 \alpha +\frac{\pi}{3} \right)$の値を$c$とすると，$c=[$\mathrm{C]$}$である．
(4)正の実数$x,\ y$が，$x^2+4y=1$を満たすとき，$2 \log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値を$d$とすると，$d=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$t$を実数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=6$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=9$であるとき，$|(1-2t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値を$[あ]$で求めなさい．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$が与えられているとする．以下の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1$，$0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．
(2)直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$\ell$によって，$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1$，小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．

(i) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．
(ii) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．