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国立 滋賀医科大学 2016年 第2問分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから，ともに控えめな有理数である．$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して，集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を，
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める．例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから，$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である．
(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ．
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか．ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える．
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める．例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから，$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である．
(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ．
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか．ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える．
私立 広島女学院大学 2016年 第5問$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる各位の数字がすべて異なる$5$桁の整数の集合を$U$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)集合$U$の要素の個数は$[$9$]$である．
(2)$U$の中で最も小さい整数は$[$10$]$であり，最も大きい整数は$[$11$]$である．
(3)$U$の要素で，小さい方から数えて$30$番目の整数は$[$12$]$である．
(4)$34201$は小さい方から数えて$[$13$]$番目の整数である．
(1)集合$U$の要素の個数は$[$9$]$である．
(2)$U$の中で最も小さい整数は$[$10$]$であり，最も大きい整数は$[$11$]$である．
(3)$U$の要素で，小さい方から数えて$30$番目の整数は$[$12$]$である．
(4)$34201$は小さい方から数えて$[$13$]$番目の整数である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$i$を虚数単位とする．次の事実がある．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第4問$3$点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の$1$辺を選び，その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる．このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする．$S_1$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする．$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり，その中には$\mathrm{D}$も含まれる．一般に，自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき，$S_n$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする．次の問に答えよ．
(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．
(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．
(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．
私立 藤田保健衛生大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
私立 天使大学 2016年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく．さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく．次の問いに答えなさい．
(i) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい．
$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$
(ii) $U$の要素の中で，既約分数の個数を$N_3$とする．$N_3$を求めなさい．
$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり，$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく．次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である．
(ii) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である．
(1)分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく．さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく．次の問いに答えなさい．
(i) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい．
$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$
(ii) $U$の要素の中で，既約分数の個数を$N_3$とする．$N_3$を求めなさい．
$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり，$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく．次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である．
(ii) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である．
国立 愛媛大学 2015年 第5問$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を
$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$
とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．
$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$
とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．
国立 愛媛大学 2015年 第5問$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を
$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$
とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．
(5)$X_1(X_2+X_3)$が実数となる．
$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$
とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．
(5)$X_1(X_2+X_3)$が実数となる．
国立 愛媛大学 2015年 第4問$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を
$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$
とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．
$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$
とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．