「複素数」について
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私立 北里大学 2013年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ニ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．
(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．
私立 早稲田大学 2013年 第2問複素数$z=1+2 \sqrt{6} \, i$と自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，複素数$z^n$を実数$a_n,\ b_n$を用いて
\[ z^n=a_n+b_n i \]
と表す．次の問に答えよ．
(1)${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ．
(2)すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ．
(3)どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ．
(4)$z^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ．
\[ z^n=a_n+b_n i \]
と表す．次の問に答えよ．
(1)${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ．
(2)すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ．
(3)どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ．
(4)$z^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ．
国立 福井大学 2012年 第1問$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ．
(2)複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき，$z$および$z^{4n}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ．
(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ．
(2)複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき，$z$および$z^{4n}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ．
私立 早稲田大学 2012年 第1問以下の問に答えよ．
(1)複素数$\alpha, \beta$に対して$\alpha\beta=0$ならば，$\alpha=0$または$\beta=0$であることを示せ．
(2)複素数$\alpha$に対して$\alpha^2$が正の実数ならば，$\alpha$は実数であることを示せ．
(3)複素数$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{2n+1}$（$n$は自然数）に対して，$\alpha_1\alpha_2,\cdots,\alpha_k\alpha_{k+1},\cdots,\alpha_{2n}\alpha_{2n+1}$および$\alpha_{2n+1}\alpha_1$がすべて正の実数であるとする．このとき，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{2n+1}$はすべて実数であることを示せ．
(1)複素数$\alpha, \beta$に対して$\alpha\beta=0$ならば，$\alpha=0$または$\beta=0$であることを示せ．
(2)複素数$\alpha$に対して$\alpha^2$が正の実数ならば，$\alpha$は実数であることを示せ．
(3)複素数$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{2n+1}$（$n$は自然数）に対して，$\alpha_1\alpha_2,\cdots,\alpha_k\alpha_{k+1},\cdots,\alpha_{2n}\alpha_{2n+1}$および$\alpha_{2n+1}\alpha_1$がすべて正の実数であるとする．このとき，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{2n+1}$はすべて実数であることを示せ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の文章中の$[ア]$から$[ラ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．
(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．
(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．
(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\sqrt{2} \div \sqrt[4]{4} \times \sqrt[12]{32} \div \sqrt[6]{2}=2^a$とすると$a=[ア]$である．
(2)座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直である．このとき，$(x,\ y,\ z)=[イ]$である．ただし，$x>0$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$とする．
(3)$i$を虚数単位として，複素数$x=\sqrt{3}+\sqrt{7}i$を考える．$x$と共役な複素数を$\overline{x}$とするとき，$x^3+\overline{x}^3$の値は$[ウ]$である．
(4)$\log_2x+\log_4y=1$のとき，$x^2+y$の最小値は$[エ]$である．
(5)$4$つの数字$0,\ 1,\ 2,\ 6$から，$18$で割り切れる$4$桁の数を作るとすると$[オ]$通りできる．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
(6)$\cos 75^\circ$の値は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$[キ]$である．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\angle \mathrm{OAC}=40^\circ$，$\angle \mathrm{OCB}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{AOC}=[ク]$であり，$\angle \mathrm{ABO}=[ケ]$である．
(1)$\sqrt{2} \div \sqrt[4]{4} \times \sqrt[12]{32} \div \sqrt[6]{2}=2^a$とすると$a=[ア]$である．
(2)座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直である．このとき，$(x,\ y,\ z)=[イ]$である．ただし，$x>0$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$とする．
(3)$i$を虚数単位として，複素数$x=\sqrt{3}+\sqrt{7}i$を考える．$x$と共役な複素数を$\overline{x}$とするとき，$x^3+\overline{x}^3$の値は$[ウ]$である．
(4)$\log_2x+\log_4y=1$のとき，$x^2+y$の最小値は$[エ]$である．
(5)$4$つの数字$0,\ 1,\ 2,\ 6$から，$18$で割り切れる$4$桁の数を作るとすると$[オ]$通りできる．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
(6)$\cos 75^\circ$の値は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$[キ]$である．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\angle \mathrm{OAC}=40^\circ$，$\angle \mathrm{OCB}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{AOC}=[ク]$であり，$\angle \mathrm{ABO}=[ケ]$である．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)複素数$\displaystyle \frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}$の虚部を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x \frac{6}{t^2+7t+10}\, dt$について$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)30階建てのビルの11階にある人物Aがいる．Aは硬貨を投げて，表が出れば1階上へ，裏が出れば1階下へ移動する．硬貨を10回投げた後，Aが6階より下の階にいる確率を求めよ．
(1)複素数$\displaystyle \frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}$の虚部を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x \frac{6}{t^2+7t+10}\, dt$について$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)30階建てのビルの11階にある人物Aがいる．Aは硬貨を投げて，表が出れば1階上へ，裏が出れば1階下へ移動する．硬貨を10回投げた後，Aが6階より下の階にいる確率を求めよ．
国立 東北大学 2011年 第5問$a$を実数，$z$を0でない複素数とする．$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表す．
(1)次を満たす$z$を求めよ．
\[ z-1-\frac{a}{z} = 0 \]
(2)次を満たす$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．
\[ \overline{z}+1-\frac{a}{z}= 0 \]
(3)次を満たす$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．
\[ z(\overline{z})^2 + \overline{z} -\frac{a}{z}= 0 \]
(1)次を満たす$z$を求めよ．
\[ z-1-\frac{a}{z} = 0 \]
(2)次を満たす$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．
\[ \overline{z}+1-\frac{a}{z}= 0 \]
(3)次を満たす$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．
\[ z(\overline{z})^2 + \overline{z} -\frac{a}{z}= 0 \]
私立 獨協大学 2011年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)式$(x-2y+3z)^2$を展開したとき，$y^2$の係数は$[$1$]$であり，$yz$の係数は$[$2$]$である．
(2)下の図の斜線部分は$3$つの不等式$[$3$]$，$[$4$]$，$[$5$]$で表される．ただし，境界線は含まないものとする．
（図は省略）
(3)$2$つの複素数$2+\sqrt{3}i$，$2-\sqrt{3}i$を解とする$2$次方程式の$1$つは
\[ x^2-[$6$]x+[$7$]=0 \]
である．
(4)$108$を素因数分解すると，$2$の$[$8$]$乗と$3$の$[$9$]$乗の積として表すことができる．したがって，$108$の正の約数は全部で$[$10$]$個である．
(5)当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじがある．引いたくじはもとに戻さないものとして，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつくじを引く．このとき$3$人のうちで$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$2$人だけが当たる確率は$[$11$]$であり，$3$人のうちで$\mathrm{B}$か$\mathrm{C}$のどちらか$1$人だけが当たる確率は$[$12$]$である．
(6)$a_{n+1}-a_n=1$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$13$]$である．また，$a_{n+1}-a_n=n$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$14$]$である．
(7)式$\sqrt{7+2 \sqrt{10}}+\sqrt{13-4 \sqrt{10}}$を簡単にすると$[$15$]$，式$\sqrt{8+2 \sqrt{15}}+\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$を簡単にすると$[$16$]$である．
(8)$2$次関数
\[ y=ax^2+2ax+b \quad (a<0) \]
の定義域を$|x| \leqq 2$，値域を$|y| \leqq 9$とする．このとき，$a=[$17$]$で，$b=[$18$]$である．
(1)式$(x-2y+3z)^2$を展開したとき，$y^2$の係数は$[$1$]$であり，$yz$の係数は$[$2$]$である．
(2)下の図の斜線部分は$3$つの不等式$[$3$]$，$[$4$]$，$[$5$]$で表される．ただし，境界線は含まないものとする．
（図は省略）
(3)$2$つの複素数$2+\sqrt{3}i$，$2-\sqrt{3}i$を解とする$2$次方程式の$1$つは
\[ x^2-[$6$]x+[$7$]=0 \]
である．
(4)$108$を素因数分解すると，$2$の$[$8$]$乗と$3$の$[$9$]$乗の積として表すことができる．したがって，$108$の正の約数は全部で$[$10$]$個である．
(5)当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじがある．引いたくじはもとに戻さないものとして，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつくじを引く．このとき$3$人のうちで$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$2$人だけが当たる確率は$[$11$]$であり，$3$人のうちで$\mathrm{B}$か$\mathrm{C}$のどちらか$1$人だけが当たる確率は$[$12$]$である．
(6)$a_{n+1}-a_n=1$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$13$]$である．また，$a_{n+1}-a_n=n$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$14$]$である．
(7)式$\sqrt{7+2 \sqrt{10}}+\sqrt{13-4 \sqrt{10}}$を簡単にすると$[$15$]$，式$\sqrt{8+2 \sqrt{15}}+\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$を簡単にすると$[$16$]$である．
(8)$2$次関数
\[ y=ax^2+2ax+b \quad (a<0) \]
の定義域を$|x| \leqq 2$，値域を$|y| \leqq 9$とする．このとき，$a=[$17$]$で，$b=[$18$]$である．