「複素数平面」について
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公立 岐阜薬科大学 2016年 第4問複素数平面上で原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表すものとする．
(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．
(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．
公立 奈良県立医科大学 2016年 第11問複素数平面上に，原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$があり，
\[ \beta=(1-i) \alpha \]
を満たしている．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か求めよ．
\[ \beta=(1-i) \alpha \]
を満たしている．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か求めよ．
公立 名古屋市立大学 2016年 第2問複素数平面上の点$\mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$を表す複素数をそれぞれ$z_0,\ z_1,\ z_2,\ \cdots$とする．原点$\mathrm{O}$および整数$k (k \geqq 0)$に対して$\displaystyle \angle \mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}=\frac{\pi}{2}$を満たす．また，$\angle \mathrm{P}_k \mathrm{OP}_{k+1}=\theta$とする．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．次の問いに答えよ．
(1)$z_{k+1}$を$z_k$で表せ．
(2)$z_0=a$（$a$は正の実数）であるとき，三角形$\mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}$の面積$s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
(3)三角形の面積の和$\displaystyle A_n=\sum_{k=0}^{n-1}s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
(1)$z_{k+1}$を$z_k$で表せ．
(2)$z_0=a$（$a$は正の実数）であるとき，三角形$\mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}$の面積$s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
(3)三角形の面積の和$\displaystyle A_n=\sum_{k=0}^{n-1}s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
公立 兵庫県立大学 2016年 第5問複素数平面上の異なる$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$に対して，点$\mathrm{R}(w)$を
\[ w=\frac{\alpha-i}{\overline{\alpha}+i} \overline{z}+\frac{\alpha+\overline{\alpha}}{\overline{\alpha}+i}i \]
により定める．ただし，$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$は同一直線上にない．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$|\displaystyle\frac{w-i|{z-i}}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{z-w}{\alpha-i}$の偏角$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\alpha=\sqrt{3}+2i$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$が点$\mathrm{A}$を重心とする正三角形となるとき，$z$の値を求めよ．
\[ w=\frac{\alpha-i}{\overline{\alpha}+i} \overline{z}+\frac{\alpha+\overline{\alpha}}{\overline{\alpha}+i}i \]
により定める．ただし，$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{P}(i)$，$\mathrm{Q}(z)$は同一直線上にない．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$|\displaystyle\frac{w-i|{z-i}}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{z-w}{\alpha-i}$の偏角$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\alpha=\sqrt{3}+2i$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$が点$\mathrm{A}$を重心とする正三角形となるとき，$z$の値を求めよ．
公立 札幌医科大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．
(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．
(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．
(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．
(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．
(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．
国立 静岡大学 2015年 第4問$i$を虚数単位，$r$を$1$より大きい実数とし，$\displaystyle w=r \left( \cos \frac{\pi}{24}+i \sin \frac{\pi}{24} \right)$とおく．また，数列$\{z_n\}$を次の式で定める．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第4問$i$を虚数単位，$r$を$1$より大きい実数とし，$\displaystyle w=r \left( \cos \frac{\pi}{24}+i \sin \frac{\pi}{24} \right)$とおく．また，数列$\{z_n\}$を次の式で定める．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
国立 香川大学 2015年 第4問（新課程履修者）複素数平面上に原点$\mathrm{O}(0)$と点$\mathrm{A}(1+\sqrt{3}i)$がある．ただし，$i$を虚数単位とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)複素数$1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0 \leqq \theta <2\pi$とする．
(2)点$\mathrm{A}$を原点のまわりに$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$だけ回転した点を表す複素数を求めよ．
(3)虚軸上の点$\mathrm{B}(z)$が$\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$を満たすとき，複素数$z$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\mathrm{B}(z)$に対して，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を表す複素数を求めよ．
(1)複素数$1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0 \leqq \theta <2\pi$とする．
(2)点$\mathrm{A}$を原点のまわりに$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$だけ回転した点を表す複素数を求めよ．
(3)虚軸上の点$\mathrm{B}(z)$が$\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$を満たすとき，複素数$z$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\mathrm{B}(z)$に対して，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を表す複素数を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
国立 筑波大学 2015年 第6問$\alpha$を実数でない複素数とし，$\beta$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．ただし，複素数$w$に対してその共役複素数を$\overline{w}$で表す．
(1)複素数平面上で，関係式$\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z=|z|^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする．このとき，$C$は原点を通る円であることを示せ．
(2)複素数平面上で，$(z-\alpha)(\beta-\overline{\alpha})$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする．$L$は$(1)$で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ．また，その$2$点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
(3)$\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする．$(2)$で定めた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，$\beta$を$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
(1)複素数平面上で，関係式$\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z=|z|^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする．このとき，$C$は原点を通る円であることを示せ．
(2)複素数平面上で，$(z-\alpha)(\beta-\overline{\alpha})$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする．$L$は$(1)$で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ．また，その$2$点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．
(3)$\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする．$(2)$で定めた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，$\beta$を$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ．