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山口東京理科大学 私立 山口東京理科大学 2016年 第2問
ある製品を工場$\mathrm{A}$および工場$\mathrm{B}$で製造している.工場$\mathrm{A}$の製品には$4 \, \%$,工場$\mathrm{B}$の製品には$5 \, \%$の不良品がそれぞれ含まれる.工場$\mathrm{A}$と工場$\mathrm{B}$の個数を$5:7$の割合で混ぜた大量の製品の中から$1$個の製品を取り出す.

(1)取り出した製品が不良品である確率は,$\displaystyle \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ][シ]}$である.
(2)取り出した製品が不良品であったとき,それが工場$\mathrm{A}$の製品である確率は,$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2015年 第4問
棚に包装された製品が$n$個($n \geqq 4$)並んでいるが,そのうち$2$個が不良品だということがわかっている.$n$個の製品はすでに包装されているため,外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない.今,どの$2$個が不良品かを見つけるために,$n$個の製品のうち$1$個を取り出し,包装を解き,中身をチェックする.中身が不良品だった場合は,別に置いてあったすでに包装された良品と交換し,もとにあった場所に戻す.中身が不良品でなかった場合は,製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す.$1$個目の製品のチェックが終わったら,棚の別の製品も同様にチェックし,この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し,$2$個目の不良品を交換した時点で終了する.包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円,製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である.

(1)$n=4$のとき,この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である.
(2)$n=4$のとき,この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である.
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である.
上智大学 私立 上智大学 2015年 第3問
ある工場では製品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を生産している.それらを生産するには,原料$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が必要である.$\mathrm{X}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには,$\mathrm{A}$が$1 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$4 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$1 \, \mathrm{kg}$必要である.$\mathrm{Y}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには,$\mathrm{A}$が$3 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$3 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$2 \, \mathrm{kg}$必要である.原料の在庫はそれぞれ,$\mathrm{A}$が$23 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$47 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$c \, \mathrm{kg}$である.また,$\mathrm{X}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$p$万円,$\mathrm{Y}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$q$万円の利益がある.ただし,$c>0$,$p>0$,$q>0$とする.以下,在庫にある原料のみを用いて生産を行うものとする.

(1)$c=17$,$p=2$,$q=5$のとき,$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば,最大の利益を得る.
(2)$c=17$のとき,最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと,

$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$

$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$


である.ただし,$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする.

(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと,$c>[ユ]$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており,各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である.すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は,$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである.ただし,各新製品の開発は独立な試行であるとする.企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$,また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする.以下では,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.

(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ.
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ.
明治大学 私立 明治大学 2015年 第1問
次の$[ ]$に適する数を入れよ.

(1)製品$\mathrm{A}$は$3$つの部品$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$,$\mathrm{c}$から構成される.部品$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$,$\mathrm{c}$は,製造する過程において各々$\displaystyle \frac{1}{8}$の確率で低品質のものが発生する.製品$\mathrm{A}$に$2$つ以上の低品質の部品が含まれるとき,製品$\mathrm{A}$は不良品となる.製品$\mathrm{A}$を$1$つ製造するとき,それが不良品となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]}$である.

(2)$a$を実数,$k$を正の実数として
\[ F(a)=\int_a^k (x^2-a^2) \, dx \]
とおく.関数$F(a)$の極値の差が$72$となるような$k$の値は$[カ]$である.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$は,$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{OB}=5$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$をみたすとする.$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし,この垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である.辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$,線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ][チ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である.
釧路公立大学 公立 釧路公立大学 2015年 第4問
以下の各問に答えよ.

(1)製品が$50$個あり,そのうち$5$個が不良品である.この$50$個の中から$2$個を同時に取り出す検査で,不良品が見つかる確率を求めよ.
(2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする.また,$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とし,直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする.$\mathrm{EF}=9$のとき,線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ.
(3)下の図において,直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は接点である.円$\mathrm{O}$の半径を$5$,円$\mathrm{O}^\prime$の半径を$3$とし,$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$10$とするとき,線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ.
(図は省略)
吉備国際大学 私立 吉備国際大学 2014年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$x^2-2xy+3x-4y+2$を因数分解せよ.
(2)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$のとき$x^2+2x-4$の値を求めよ.
(3)$10$個の製品の中に$3$個の不良品が含まれている中から$3$個の製品を同時に選び出すとき,不良品が少なくとも$1$個含まれる確率を求めよ.
(4)連続する$7$個の自然数で小さい方の$4$つの数の平方の和が,大きい方の$3$つの数の平方の和に等しくなるとき,$7$つの自然数をすべて求めよ.
(5)不等式$x^2+4x-2<0$を解け.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2012年 第2問
ある企業が毎年$x$リットルの液体製品を製造している.生産するための総費用を$c$,設備の規模を$k$とする.製品1リットルの価格を$p$とし
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする.このとき利潤は$px-c$である.

(1)$p=15,\ k=1$のとき,$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる.
(2)生産量$x$を変えずに,設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である.
(3)$p=19$とし,$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする.このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2011年 第4問
別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある.製品の不良は各部品の不良のみに由来し,部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$,部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である.製品を製造した後,検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする.以下の問いに答えよ.

(1)合格品(不良が無い製品)が製造される確率を求めよ.
(2)製品を$5$個製造した後,検査を行ったとき,$4$個以上が合格品である確率を求めよ.
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である.また,部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり,部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である.製品$1$個あたりの利益は,以下の式で計算される.

(製品$1$個あたりの利益)$=$(販売価格)$-$(製品$1$個あたりの費用)

製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき,製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ.なお,不良品(不良のある製品)は販売しないため,上式の(販売価格)項が$0$となり負の利益(損失)が生じることを考慮せよ.
(4)新たに工作機械を導入することで,部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる.しかし,この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり,これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する.$10,000$個製品を製造するとき,工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か,工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ.ただし,工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする.また,販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2011年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)ある工場の製品が$50$個あり,その中に不良品が$2$個だけ含まれている.このとき次の問いに答えよ.

(2)この$50$個の製品の中から$5$個を同時に取り出したとき,少なくとも$1$個の不良品が含まれる確率は$[ア]$である.
(3)この$50$個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき,$1$個以上の不良品が含まれる確率を$\displaystyle\frac{1}{2}$より大きくなるようにしたい.このときに,取り出す製品の個数は少なくとも$[イ]$個でなければならない.

(4)$x^2+y^2=25$で表される円$A$がある.点$(7,\ 1)$から円$A$に接線を引く.

(5)接線の方程式は,$y=-[ウ]x+[エ]$と$y=[オ]x-[カ]$で表される.$[ウ]$,$[エ]$,$[オ]$,$[カ]$を正の分数で表せ.
(6)上で求めた$2$本の接線に接し,さらに円$A$に接する円は$[キ]$個ある.これらの$[キ]$個の円の半径で,最大の半径は$[ク]$であり,最小の半径は$[ケ]$である.
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