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国立 京都大学 2016年 第2問ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある．「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする．この装置のボタンを$20$回押したとき，$1$回以上「あたり」の出る確率は$36 \, \%$である．$1$回以上「あたり」の出る確率が$90 \, \%$以上となるためには，この装置のボタンを最低何回押せばよいか．必要なら$0.3010<\log_{10}2<0.3011$を用いてよい．
国立 九州大学 2016年 第4問自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
国立 九州大学 2016年 第4問自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
国立 東京工業大学 2016年 第5問次のように媒介変数表示された$xy$平面上の曲線を$C$とする：
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=3 \cos t-\cos 3t \phantom{\frac{8}{8}} \\
y=3 \sin t-\sin3 t \phantom{\frac{[ ]}{8}}
\end{array} \right. \]
ただし$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$である．
(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を計算し，$C$の概形を図示せよ．
(2)$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=3 \cos t-\cos 3t \phantom{\frac{8}{8}} \\
y=3 \sin t-\sin3 t \phantom{\frac{[ ]}{8}}
\end{array} \right. \]
ただし$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$である．
(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を計算し，$C$の概形を図示せよ．
(2)$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第2問楕円$\displaystyle \frac{x^2}{9}+y^2=1$を$C$とする．また，座標平面上の点$\mathrm{P}(v,\ w)$を通り，単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(\alpha,\ \beta)$を方向ベクトルにもつ直線$\ell$の媒介変数$t$による表示を
\[ x=v+\alpha t,\quad y=w+\beta t \]
とする．直線$\ell$は$t=t_1,\ t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をもつとする．ただし，$\alpha>0$，$t_1 \leqq t_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$t_1+t_2$と$t_1t_2$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}} \cdot |\overrightarrow{\mathrm{PR|}}$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha=\beta$のとき，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR|}}=\frac{6}{5}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
\[ x=v+\alpha t,\quad y=w+\beta t \]
とする．直線$\ell$は$t=t_1,\ t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をもつとする．ただし，$\alpha>0$，$t_1 \leqq t_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$t_1+t_2$と$t_1t_2$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}} \cdot |\overrightarrow{\mathrm{PR|}}$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha=\beta$のとき，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR|}}=\frac{6}{5}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
国立 秋田大学 2016年 第3問$b>0$，$a=2 \sqrt{3}b$とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする．楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$，$y=b \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする．円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき，$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ．
(2)$2d=11b$とし，$4$つの頂点が$(d,\ d)$，$(-d,\ d)$，$(-d,\ -d)$，$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える．点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき，$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする．このとき，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，$C$の半径$r(\theta)$を求めよ．
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ．
(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする．円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき，$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ．
(2)$2d=11b$とし，$4$つの頂点が$(d,\ d)$，$(-d,\ d)$，$(-d,\ -d)$，$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える．点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき，$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする．このとき，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，$C$の半径$r(\theta)$を求めよ．
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ．
私立 早稲田大学 2016年 第2問$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．
私立 東北学院大学 2016年 第1問次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である．
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である．
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる．
国立 防衛医科大学校 2015年 第2問スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第3問座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．