「自然数」について
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国立 福島大学 2016年 第3問$t$を$\displaystyle t+\frac{1}{t}=\sqrt{2}$を満たす数とし，$\displaystyle A_n=t^n+\frac{1}{t^n}$（$n$は自然数）とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$A_2,\ A_3,\ A_4$の値を求めなさい．
(2)$n \geqq 2$のとき，$A_{n+1}$を$A_n,\ A_{n-1}$を用いて表しなさい．
(3)$n \geqq 3$のとき，$A_{n+2}$を$A_{n-2}$を用いて表しなさい．
(4)$A_n$のとりうる値をすべて求めなさい．
(1)$A_2,\ A_3,\ A_4$の値を求めなさい．
(2)$n \geqq 2$のとき，$A_{n+1}$を$A_n,\ A_{n-1}$を用いて表しなさい．
(3)$n \geqq 3$のとき，$A_{n+2}$を$A_{n-2}$を用いて表しなさい．
(4)$A_n$のとりうる値をすべて求めなさい．
国立 東京農工大学 2016年 第2問$n$を自然数とし，$a,\ b,\ r$は実数で$b>0$，$r>0$とする．複素数$w=a+bi$は$w^2=-2 \overline{w}$を満たすとする．$\alpha_n=r^{n+1} w^{2-3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．ただし，$i$は虚数単位とし，複素数$z$に共役な複素数を$\overline{z}$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha_1)$，$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し，その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha_1)$，$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し，その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ．
国立 福島大学 2016年 第5問$n$を自然数とし，$a_n=\cos n\theta,\ b_n=\sin n\theta$とする．
(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を用いて表しなさい．
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ \cos \theta$を用いて表しなさい．
(3)$\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{4}$のとき$\cos 5\theta$の値を求めなさい．
(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を用いて表しなさい．
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ \cos \theta$を用いて表しなさい．
(3)$\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{4}$のとき$\cos 5\theta$の値を求めなさい．
国立 熊本大学 2016年 第3問自然数$a$に対して
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)和$S(a)$を求めよ．
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)和$S(a)$を求めよ．
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$を以下のように定める．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$を以下のように定める．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n$が$6$の倍数となるための$n$の条件を求めよ．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n$が$6$の倍数となるための$n$の条件を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第6問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
国立 千葉大学 2016年 第5問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第1問自然数$n$に対して，$n$のすべての正の約数（$1$と$n$を含む）の和を$S(n)$とおく．例えば，$S(9)=1+3+9=13$である．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき，$S(n)=2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を自然数とする．$n=2^a-1$が$S(n)=n+1$を満たすとき，$a$は素数であることを示せ．
(3)$a$を$2$以上の自然数とする．$n=2^{a-1}(2^a-1)$が$S(n) \leqq 2n$を満たすとき，$n$の$1$の位は$6$か$8$であることを示せ．
(1)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき，$S(n)=2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を自然数とする．$n=2^a-1$が$S(n)=n+1$を満たすとき，$a$は素数であることを示せ．
(3)$a$を$2$以上の自然数とする．$n=2^{a-1}(2^a-1)$が$S(n) \leqq 2n$を満たすとき，$n$の$1$の位は$6$か$8$であることを示せ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第1問自然数$n$に対して，$n$のすべての正の約数（$1$と$n$を含む）の和を$S(n)$とおく．例えば，$S(9)=1+3+9=13$である．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n)=24$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n) \geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき，$S(n) \geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(1)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n)=24$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n) \geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき，$S(n) \geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．