「自然数」について
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国立 九州工業大学 2014年 第2問$A+B=E$，$AB=O$をみたす$2 \times 2$行列$A,\ B$を考える．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．以下の問いに答えよ．
(1)$A^2=A$，$B^2=B$，$BA=O$となることを示せ．
(2)$(A+\alpha B)^n=A+k_nB$をみたす実数$k_n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$\alpha$は実数であり，$n$は自然数である．
(3)$A+\alpha B=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -3 \\
2 & 4
\end{array} \right)$であるとき，$A,\ B$と実数$\alpha$を求めよ．
(1)$A^2=A$，$B^2=B$，$BA=O$となることを示せ．
(2)$(A+\alpha B)^n=A+k_nB$をみたす実数$k_n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$\alpha$は実数であり，$n$は自然数である．
(3)$A+\alpha B=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -3 \\
2 & 4
\end{array} \right)$であるとき，$A,\ B$と実数$\alpha$を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第1問自然数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\int_0^x \frac{dt}{(t^2+1)^n}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f_1(1)$を求めよ．
(2)$\displaystyle g(x)=f_1 \left( \frac{1}{x} \right)$とおく．$g^\prime(x)$を求め，$x>0$のとき
\[ f_1(x)+g(x)=\frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_1(x)$を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，
\[ f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2nf_n(x)-2nf_{n+1}(x) \]
が成り立つことを示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f_n(x)=\frac{\comb{2n-3}{n-1}}{{2}^{2n-2}} \pi (n \geqq 2)$であることを示せ．ただし，$\displaystyle \comb{m}{k}=\frac{m!}{(m-k)!k!}$とする．
(1)$f_1(1)$を求めよ．
(2)$\displaystyle g(x)=f_1 \left( \frac{1}{x} \right)$とおく．$g^\prime(x)$を求め，$x>0$のとき
\[ f_1(x)+g(x)=\frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_1(x)$を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，
\[ f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2nf_n(x)-2nf_{n+1}(x) \]
が成り立つことを示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f_n(x)=\frac{\comb{2n-3}{n-1}}{{2}^{2n-2}} \pi (n \geqq 2)$であることを示せ．ただし，$\displaystyle \comb{m}{k}=\frac{m!}{(m-k)!k!}$とする．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数$n$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし，線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数$n$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし，線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数$n$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし，線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
国立 宮城教育大学 2014年 第1問$1 \leqq n<m$をみたす自然数の組を$(m,\ n)$と表し，これらを次の規則で順番に並べる．
(i) $1$番目は組$(2,\ 1)$とする．
(ii) $k$番目が組$(m,\ n)$のとき，
$n<m-1$ならば，$k+1$番目は組$(m,\ n+1)$とし，
$n=m-1$ならば，$k+1$番目は組$(m+1,\ 1)$とする．
例えば，$2$番目の組は$(3,\ 1)$，$3$番目の組は$(3,\ 2)$，$4$番目の組は$(4,\ 1)$，$5$番目の組は$(4,\ 2)$となる．次の問いに答えよ．
(1)$20$番目の自然数の組を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の自然数とするとき，組$(m,\ 1)$は何番目かを答えよ．
(3)$1 \leqq n<m \leqq 5$をみたすすべての組$(m,\ n)$を考える．組$(m,\ n)$から分数$\displaystyle \frac{n}{m}$を作るとき，これらの分数の総和を求めよ．
(4)$l$を$2$以上の自然数とする．$1 \leqq n<m \leqq l$をみたすすべての組$(m,\ n)$から作る分数$\displaystyle \frac{n}{m}$の総和が$\displaystyle \frac{4753}{2}$であるとき，$l$の値を求めよ．
(i) $1$番目は組$(2,\ 1)$とする．
(ii) $k$番目が組$(m,\ n)$のとき，
$n<m-1$ならば，$k+1$番目は組$(m,\ n+1)$とし，
$n=m-1$ならば，$k+1$番目は組$(m+1,\ 1)$とする．
例えば，$2$番目の組は$(3,\ 1)$，$3$番目の組は$(3,\ 2)$，$4$番目の組は$(4,\ 1)$，$5$番目の組は$(4,\ 2)$となる．次の問いに答えよ．
(1)$20$番目の自然数の組を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の自然数とするとき，組$(m,\ 1)$は何番目かを答えよ．
(3)$1 \leqq n<m \leqq 5$をみたすすべての組$(m,\ n)$を考える．組$(m,\ n)$から分数$\displaystyle \frac{n}{m}$を作るとき，これらの分数の総和を求めよ．
(4)$l$を$2$以上の自然数とする．$1 \leqq n<m \leqq l$をみたすすべての組$(m,\ n)$から作る分数$\displaystyle \frac{n}{m}$の総和が$\displaystyle \frac{4753}{2}$であるとき，$l$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の式を，実数の範囲で因数分解せよ．
\[ 6(x+3)(x+4)(x+6)(x+8)-(x+1)(x+2)(x+12)(x+24) \]
(2)$n$を自然数，$A,\ B$を整数とする．多項式$x^{2n}-4x^8+Ax+B$が$x^2-x+1$で割り切れるように，$A,\ B$の値を定めよ．
(1)次の式を，実数の範囲で因数分解せよ．
\[ 6(x+3)(x+4)(x+6)(x+8)-(x+1)(x+2)(x+12)(x+24) \]
(2)$n$を自然数，$A,\ B$を整数とする．多項式$x^{2n}-4x^8+Ax+B$が$x^2-x+1$で割り切れるように，$A,\ B$の値を定めよ．
国立 浜松医科大学 2014年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
国立 山口大学 2014年 第1問$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$に対して，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2)$c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3)$a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．
国立 山形大学 2014年 第4問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
7 & -4 \\
5 & -2
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
4 & 1 \\
5 & 1
\end{array} \right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める．
(i) $A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおくとき，$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
7 & -4 \\
5 & -2
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
4 & 1 \\
5 & 1
\end{array} \right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める．
(i) $A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおくとき，$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．