浜松医科大学
2014年 医学部 第3問
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以下の問いに答えよ．
(1) $r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} \ \ (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ． \[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \] 以下整数$n \ \ (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える． \[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2) $X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
(1) $r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} \ \ (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ． \[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \] 以下整数$n \ \ (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える． \[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2) $X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
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