数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 (1-x^2)^n \, dx=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 (1-x^2)^n \, dx=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．

$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする．自然数$k$に対して，平面上の点$\mathrm{P}_k$，$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすものとして定める．

(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し，$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき，自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ．