約数，公約数，最大公約数を次のように定める．
\begin{itemize}
$2$つの整数$a,\ b$に対して，$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき，$b$は$a$の約数であるという．
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という．
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という．
\end{itemize}
以下の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする．

(i) $a=18$，$b=30$，$c=-42$，$p=2$のとき，$a$と$b$の公約数の集合$S$，および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ．
(ii) $a$と$b$の最大公約数を$M$，$b$と$c$の最大公約数を$N$とする．$M$と$N$は等しいことを示せ．ただし，$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする．

(2)自然数の列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \]
で定める．

(i) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．
(ii) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ．
(iii) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．

座標平面上の曲線$C_1,\ C_2$をそれぞれ

$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$

とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1$，$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$，曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．
(2)$S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ．

座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える．この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$とする．ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し，$1$つのサイコロを$1$回投げ，出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす．


\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．

はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．

(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．

(1)$n$が素数または$4$のとき，$(n-1)!$は$n$で割り切れないことを示せ．
(2)$n$が素数でなくかつ$4$でもないとき，$(n-1)!$は$n$で割り切れることを示せ．

$a,\ b,\ c,\ m$を整数とする．

(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．

すべての自然数$n$について，$3^n-2n+3$は$4$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．

すべての自然数$n$について，$3^{3n+1}+7^{2n-1}$は$11$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．

$n$を$2$以上の自然数とする．

(1)方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ．
(2)$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を実数かつ$c_0 \neq 0$とする．方程式
\[ c_0z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 \]
のすべての解を$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n$とするとき，$\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$を$c_0,\ c_1,\ \cdots,\ c_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{2k\pi}{n}$を求めよ．

$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし，
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし，
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．

(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．

複素数平面上を，点$\mathrm{P}$が次のように移動する．

(i) 時刻$0$では，$\mathrm{P}$は原点にいる．時刻$1$まで，$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると，$z_1=1$である．
(ii) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し，時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると，$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である．
(iii) 以下同様に，時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し，時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする．ただし$n$は自然数である．

$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として，次の問いに答えよ．

(1)$z_3,\ z_4$を求めよ．
(2)$z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき，$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく．$w$を求めよ．
(4)$z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ．