次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$a,\ b$を自然数とする．$a$を$9$で割ると$1$余り，$b$を$9$で割ると$5$余る．

(i) $a+b$を$9$で割ったときの余りは$[$1$]$である．
(ii) $ab$を$9$で割ったときの余りは$[$2$]$である．
(iii) $a^2+b^2$を$9$で割ったときの余りは$[$3$]$である．

(2)$2$つの整数$1364$と$279$の最大公約数は$[$4$]$である．
(3)$|x+2|+|x-5|=9$の解は$x=-[$5$]$または$x=[$6$]$である．
(4)分数$\displaystyle \frac{35}{37}$を小数で表したとき，小数第$50$位の数字は$[$7$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)曲線$y=e^x$上の点$(t,\ e^t)$と直線$y=2x$の距離を$d(t)$とする．$d(t)$の最小値を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \log 2x \, dx$を計算せよ．ただし積分定数は$C$とすること．

次の各問に答えよ．

(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(5)$3$次方程式$x^3+x^2-2x+1=0$の$3$つの解を$a_1,\ a_2,\ a_3$とするとき，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$の値を求めよ．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)全体集合$U$と，その部分集合$A,\ B$について$n(U)=140$，$n(A)=80$，$n(B)=70$，$n(A \cap B)=20$のとき，次の個数を求めよ．

(i) $n(A \cup \overline{B})=[$1$]$である．
(ii) $n(\overline{A} \cap \overline{B})=[$2$]$である．

(2)$\sqrt{630n}$が自然数になるような最小の自然数$n$は$n=[$3$]$である．

(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．

このとき，$a=[$4$]$，$b=\sqrt{[$5$]}-[$6$]$である．

また，$\displaystyle \frac{10a}{b}=[$7$] \sqrt{[$8$]}+[$9$]$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)「実数」は，「実数」と「実数」に$3$つの演算（加法・減法・乗法）を行った場合，再び「実数」になる．同じように，同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が，再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい．

有理数，自然数，整数

(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．

(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$

(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい．

(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$

(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい．

「$n+1$が偶数ならば，$n$は奇数」

次の$[　]$にあてはまる答えを記入せよ．

(1)$100$未満の自然数で，$3$または$4$または$5$で割り切れる数は$[ア]$個，$3$または$4$で割り切れ$5$では割り切れない数は$[イ]$個である．
(2)\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図において，点$\mathrm{I}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点とし，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=6$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$であり，$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}=[エ]$である．
\end{mawarikomi}

(3)整数$a$を$3$進数${122}_{(3)}$で割ったときの商と余りは，それぞれ${212}_{(3)}$と${102}_{(3)}$である．このとき，$a$を$3$進法で表すと${[オ]}_{(3)}$であり，$a$と$5$進数${410}_{(5)}$の和を$5$進法で表すと${[カ]}_{(5)}$である．
(4)不等式$2 |x-a|<x+1$について考える．$a=5$のとき，この不等式を満たす整数$x$は$[キ]$個である．また，この不等式を満たす整数$x$が$5$個あるとき，整数$a$の値は$[ク]$である．
(5)$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$で$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[ケ]$，$\cos 2\theta=[コ]$である．
(6)$a,\ b$は自然数で，$a^5 b^2$が$20$桁の数であり，かつ，$\displaystyle \frac{a^5}{b^2}$の整数部分が$10$桁であるとする．このとき，$a,\ b$の桁数をそれぞれ$m,\ n$とすると，$m=[サ]$，$n=[シ]$である．
(7)円$x^2+y^2-2(x+y)+1=0$と直線$y+2x=k$が共有点をもつとき，$k$の最大値は$[ス]$である．また，この円と直線$y=ax-3a$が共有点をもつとき，$a$の最小値は$[セ]$である．

大小$2$つのサイコロを投げて出る目の値をそれぞれ$p,\ q$とし，$6$以下の自然数$n$のうち条件
\[ (n-p)(n-q)<0 \]
をみたすものすべてをホワイトボードに書くものとする．以下の問いに答えなさい．

(1)ホワイトボードに$2$だけが書かれる確率を求めなさい．
(2)ホワイトボードに何も書かれない確率を求めなさい．
(3)ホワイトボードに書かれる自然数全体の集合を$A$とする．ただし，何も書かれないとき$A$は空集合とする．$6$以下の素数全体の集合を$B$とするとき，$A$が$B$の部分集合となる確率を求めなさい．

数直線上に$2$点$\mathrm{Q}(-1)$と$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( \frac{1}{2} \right)$をとり，線分$\mathrm{QP}_1$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_2$，線分$\mathrm{QP}_2$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_3$とする．以下同様に$n=1,\ 2,\ \cdots$に対し線分$\mathrm{QP}_n$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．また$\mathrm{P}_n$の座標を$a_n$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{A}$を数直線上の$\mathrm{Q}$と異なる点とする．線分$\mathrm{QA}$を$3:1$に外分する点が$\mathrm{P}_1$であるとき，$\mathrm{A}$の座標$a$を求めなさい．
(2)すべての自然数$n$に対して
\[ a_n=\left( \frac{3}{2} \right)^n-1 \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で証明しなさい．
(3)$999<a_n<9999$をみたす自然数$n$をすべて求めなさい．ただし，本問では$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

以下の問いに答えよ．

(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$

で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [　] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．

$n$枚のカードの表（おもて）面に相異なる整数値が書かれている．ただし，どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない．

はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：
はじめの$k$枚までは必ずめくり，その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする．$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら，ただちにめくるのをやめる．

戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$P_{3,1}$を求めよ．
(2)$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3)$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ．