「自然数」について
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私立 星薬科大学 2010年 第6問数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$
$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$
として次の問いに答えよ．
(1)各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{[ ] n+[ ]}{n(n+1)(n+2)}$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ S_n=\frac{[ ] n}{n+1},\quad T_n=\frac{[ ] n^2+[ ] n}{(n+1)(n+2)} \]
である．
(3)$\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$[ ]$である．
$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$
$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$
として次の問いに答えよ．
(1)各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{[ ] n+[ ]}{n(n+1)(n+2)}$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ S_n=\frac{[ ] n}{n+1},\quad T_n=\frac{[ ] n^2+[ ] n}{(n+1)(n+2)} \]
である．
(3)$\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$[ ]$である．
私立 津田塾大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．
(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ．ただし，$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である．
(2)自然数$n$に対して，$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする．$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて，$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ．また，それを用いて，$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ．
(1)$n$を自然数とする．次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ．ただし，$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である．
(2)自然数$n$に対して，$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする．$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて，$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ．また，それを用いて，$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ．
私立 津田塾大学 2010年 第3問$n \geqq 5$を満たす自然数$n$に対して$n^2<2^n$が成り立つことを証明せよ．
私立 津田塾大学 2010年 第3問実数$A,\ B$に対して方程式$x^2-Ax+B=0$の解を$p,\ q$とする．ただし$B \neq 0$とする．
(1)自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき，$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ．
(3)$\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき，$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ．
(1)自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき，$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ．
(3)$\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき，$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ．
私立 中央大学 2010年 第1問以下の設問に答えよ．
(1)「$14$で割り切れ，$11$で割ると$1$余る」自然数の中で最小のもの$k$を求めよ．
(2)自然数$22+77+k$は，次の条件を満たすことを示せ．
$(*)$ \quad $2,\ 7,\ 11$のどれで割っても$1$余る
(3)$(*)$を満たす自然数$n$で，$400 \leqq n \leqq 700$であるものをすべて求めよ．
(1)「$14$で割り切れ，$11$で割ると$1$余る」自然数の中で最小のもの$k$を求めよ．
(2)自然数$22+77+k$は，次の条件を満たすことを示せ．
$(*)$ \quad $2,\ 7,\ 11$のどれで割っても$1$余る
(3)$(*)$を満たす自然数$n$で，$400 \leqq n \leqq 700$であるものをすべて求めよ．
私立 関西大学 2010年 第4問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．
(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．
私立 東京女子大学 2010年 第6問$45$を引いても$44$を足しても平方数となるような自然数を求めよ．ただし，平方数とはある自然数$n$によって$n^2$と表される数のことである．
私立 早稲田大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
私立 早稲田大学 2010年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．この四面体を$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面で切り，この平面が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めることを考えよう．\\
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．