次の$\fbox{}$をうめよ．
(1) $x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=\fbox{$1$}$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\fbox{$2$}$である．
(2) $xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$\fbox{$3$}$である．
(3) $n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$\fbox{$4$}$である．
(4) $-1<x$において，関数$f(x)$は \[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \] で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$\fbox{$5$}$である．
(5) $i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$\fbox{$6$}$である． $0<x \leqq \pi$とする．方程式 \[ \sin 3x+\sin x=\cos x \] の解$x$をすべて求めると$\fbox{$7$}$である．