星薬科大学
2010年 薬学部 第6問
6
![数列{a_n},{b_n}(n=1,2,3,・・・)を{a_n}:\frac{4}{1・2},\frac{4}{2・3},\frac{4}{3・4},\frac{4}{4・5},・・・{b_n}:\frac{9}{1・2・3},\frac{16}{2・3・4},\frac{23}{3・4・5},\frac{30}{4・5・6},・・・として次の問いに答えよ．(1)各数列の一般項はa_n=\frac{4}{n(n+1)},b_n=\frac{[]n+[]}{n(n+1)(n+2)}である．(2)S_n=Σ_{k=1}^na_k,T_n=Σ_{k=1}^nb_kとすると，S_n=\frac{[]n}{n+1},T_n=\frac{[]n^2+[]n}{(n+1)(n+2)}である．(3)S_n-T_n＜1/4を満たす自然数nの最小値は[]である．](./thumb/289/2274/2010_6.png)
6
数列$\{a_n\},\ \{b_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$
$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$
として次の問いに答えよ．
(1) 各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{\fbox{} n+\fbox{}}{n(n+1)(n+2)}$である．
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると， \[ S_n=\frac{\fbox{} n}{n+1},\quad T_n=\frac{\fbox{} n^2+\fbox{} n}{(n+1)(n+2)} \] である．
(3) $\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$\fbox{}$である．
$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$
$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$
として次の問いに答えよ．
(1) 各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{\fbox{} n+\fbox{}}{n(n+1)(n+2)}$である．
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると， \[ S_n=\frac{\fbox{} n}{n+1},\quad T_n=\frac{\fbox{} n^2+\fbox{} n}{(n+1)(n+2)} \] である．
(3) $\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$\fbox{}$である．
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