「線分」について
タグ「線分」の検索結果
(9ページ目:全1074問中81問~90問を表示)![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする.複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ.
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ.ただし,$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ.
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする.$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ.
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ.
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ.ただし,$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ.
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする.$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ.
![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
$f(x)=xe^{-x}$とし,関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする.また,$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする.ただし,$a$は$a>1$を満たす実数である.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値を調べ$C_1$の概形をかけ.なお,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする.$C_1$,$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$S$に対して,$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値を調べ$C_1$の概形をかけ.なお,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする.$C_1$,$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$S$に対して,$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ.
![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$,$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して,線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする.
(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.
(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.
![豊橋技術科学大学](./img/univ/toyohashi.png)
$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上の点$\mathrm{P}$について,以下の問いに答えよ.なお,点$\mathrm{A}$の座標を$(r,\ 0)$,$\angle \mathrm{AOP}$の値を$\theta$とする.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(4)接線$\ell$に関して,点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(5)$r=1$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,接線$\ell$に関して,直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(4)接線$\ell$に関して,点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ.ただし,点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする.
(5)$r=1$,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,接線$\ell$に関して,直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$,$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$とする$\triangle \mathrm{ABC}$がある.辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{E}$をとり,$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{EF}$を下ろし,$\mathrm{EF}=\mathrm{AF}=x (0<x \leqq 2)$とする.また,線分$\mathrm{AF}$の$\mathrm{F}$を越える延長上に$\mathrm{AG}=2 \mathrm{AF}$となる点$\mathrm{G}$をとる.$\mathrm{EF}$,$\mathrm{FG}$を$2$辺とする正方形$\mathrm{EFGH}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$S(x)$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$S(x)$を求めよ.
(2)$xy$平面において,連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$,$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える.点$(1,\ 1)$を通り,$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする.
(i) $D$の面積を求めよ.
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ.
(1)$S(x)$を求めよ.
(2)$xy$平面において,連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$,$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える.点$(1,\ 1)$を通り,$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする.
(i) $D$の面積を求めよ.
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき,
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値を求めよ.
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする.また,辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし(ただし,$0<s<1$),線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ.
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき,$s$の値を求めよ.
![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
座標平面上において,円$C:x^2-4x+y^2+6y-12=0$上の点$(5,\ 1)$における接線を$\ell_1$とし,点$(1,\ -1)$を通り,直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする.次の各問に答えよ.
(1)$2$直線$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ.
(2)直線$\ell_2$が円$C$によって切り取られてできる線分の長さを求めよ.
(1)$2$直線$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ.
(2)直線$\ell_2$が円$C$によって切り取られてできる線分の長さを求めよ.
![鳥取大学](./img/univ/tottori.png)
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$,$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$,および直線$\ell:y=kx+2k$がある.ただし,$k$は実数とする.
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ.
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように,$k$の値の範囲を求めよ.
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わるとする.線分$\mathrm{PQ}$について,$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき,$k$の値を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする.このとき,$\tan \theta$の値を求めよ.ただし,$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする.
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ.
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように,$k$の値の範囲を求めよ.
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わるとする.線分$\mathrm{PQ}$について,$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき,$k$の値を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする.このとき,$\tan \theta$の値を求めよ.ただし,$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする.