四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{a|}=2$，$|\overrightarrow{b|}=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{c|}=1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=\frac{4}{3}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．

放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．直線$\mathrm{AB}$と放物線とで囲まれる部分の面積を$S$とする．下の問いに答えなさい．

(1)$a=b+1$とするとき，$S$を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{1}{6}$という条件を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求めなさい．

平面内にベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$がある．下の問いに答えなさい．

(1)次の等式を証明しなさい．
\[ |\overrightarrow{a|+\overrightarrow{b}}^2-|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}^2=4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \]
(2)$m,\ n$を実数とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ |m \overrightarrow{a|+n \overrightarrow{b}}^2+mn |\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}^2=(m+n)(m |\overrightarrow{a|}^2+n |\overrightarrow{b|}^2) \]
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=3$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さを求めなさい．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．

空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$a=2$のとき$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．

(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする．

(i) $d(a)$を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

(3)$d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて，放物線$C:y=f(x)$が定義されている．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t>0$とする．次の各問に答えなさい．

(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．

(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．

(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．

(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．

(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．

空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．