「総和」について
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国立 信州大学 2016年 第6問群に分けられた数列
\[ 1 \;\bigg|\; 2,\ 4,\ 2 \;\bigg|\; 3,\ 6,\ 9,\ 6,\ 3 \;\bigg|\; 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4 \;\bigg|\; \cdots \]
を，第$n$群が$(2n-1)$個の項
\[ n,\ 2n,\ \cdots,\ (n-2)n,\ (n-1)n,\ n^2,\ (n-1)n,\ (n-2)n,\ \cdots,\ 2n,\ n \]
からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)与えられた数列の初項から第$n$群の末項までの項数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．
(3)最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．
\[ 1 \;\bigg|\; 2,\ 4,\ 2 \;\bigg|\; 3,\ 6,\ 9,\ 6,\ 3 \;\bigg|\; 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4 \;\bigg|\; \cdots \]
を，第$n$群が$(2n-1)$個の項
\[ n,\ 2n,\ \cdots,\ (n-2)n,\ (n-1)n,\ n^2,\ (n-1)n,\ (n-2)n,\ \cdots,\ 2n,\ n \]
からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)与えられた数列の初項から第$n$群の末項までの項数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．
(3)最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．
国立 信州大学 2016年 第4問群に分けられた数列
\[ 1 \;\bigg|\; 2,\ 4,\ 2 \;\bigg|\; 3,\ 6,\ 9,\ 6,\ 3 \;\bigg|\; 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4 \;\bigg|\; \cdots \]
を，第$n$群が$(2n-1)$個の項
\[ n,\ 2n,\ \cdots,\ (n-2)n,\ (n-1)n,\ n^2,\ (n-1)n,\ (n-2)n,\ \cdots,\ 2n,\ n \]
からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)与えられた数列の初項から第$n$群の末項までの項数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．
(3)最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．
\[ 1 \;\bigg|\; 2,\ 4,\ 2 \;\bigg|\; 3,\ 6,\ 9,\ 6,\ 3 \;\bigg|\; 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4 \;\bigg|\; \cdots \]
を，第$n$群が$(2n-1)$個の項
\[ n,\ 2n,\ \cdots,\ (n-2)n,\ (n-1)n,\ n^2,\ (n-1)n,\ (n-2)n,\ \cdots,\ 2n,\ n \]
からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)与えられた数列の初項から第$n$群の末項までの項数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．
(3)最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．
私立 明治大学 2016年 第4問以下のように群に分けられた規則的な数列がある．ただし，第$n$群には$n$個の項が入るものとする．つまり，第$1$項が第$1$群，第$2$項と第$3$項が第$2$群，その後に続く$3$つの項が第$3$群，などとなる．この数列について，各問に答えよ．
$\displaystyle \frac{2}{1 \cdot 2} \;\bigg|\; \frac{3}{1 \cdot 2}, \frac{3}{ 2 \cdot 3} \;\bigg|\; \frac{4}{1 \cdot 2}, \frac{4}{ 2 \cdot 3}, \frac{4}{3 \cdot 4} \;\bigg|\; \frac{5}{1 \cdot 2}, \frac{5}{ 2 \cdot 3}, \frac{5}{3 \cdot 4}, \frac{5}{4 \cdot 5} \;\bigg|\; \frac{6}{1 \cdot 2},\ \cdots$
第$1$群 \qquad\!\!\! 第$2$群 \qquad\qquad\quad\!\!\! 第$3$群 \qquad\qquad\qquad\qquad\ 第$4$群
(1)第$20$項の値を求めよ．
(2)第$5$項と同じ値の項は次に第何項に現れるか．
(3)初項から第$n$群の最後の項までの項の総数を式で表せ．
(4)第$n$群に含まれる$k$番目の項を式で表せ．
(5)初項から第$30$群の最後の項までの中に，$5$より大きい項はいくつあるか．
(6)第$n$群に含まれる$n$個の項の総和を式で表せ．
$\displaystyle \frac{2}{1 \cdot 2} \;\bigg|\; \frac{3}{1 \cdot 2}, \frac{3}{ 2 \cdot 3} \;\bigg|\; \frac{4}{1 \cdot 2}, \frac{4}{ 2 \cdot 3}, \frac{4}{3 \cdot 4} \;\bigg|\; \frac{5}{1 \cdot 2}, \frac{5}{ 2 \cdot 3}, \frac{5}{3 \cdot 4}, \frac{5}{4 \cdot 5} \;\bigg|\; \frac{6}{1 \cdot 2},\ \cdots$
第$1$群 \qquad\!\!\! 第$2$群 \qquad\qquad\quad\!\!\! 第$3$群 \qquad\qquad\qquad\qquad\ 第$4$群
(1)第$20$項の値を求めよ．
(2)第$5$項と同じ値の項は次に第何項に現れるか．
(3)初項から第$n$群の最後の項までの項の総数を式で表せ．
(4)第$n$群に含まれる$k$番目の項を式で表せ．
(5)初項から第$30$群の最後の項までの中に，$5$より大きい項はいくつあるか．
(6)第$n$群に含まれる$n$個の項の総和を式で表せ．
私立 東京薬科大学 2016年 第5問$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
ax & (x \leqq 1) \\
(4-a)x+2(a-2) & (1<x) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定義する．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数である．
(1)$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$の共有点の個数は$[ロ]$である．このうち，$a$の値によらない共有点の座標は，$([ワ],\ [ヲ])$，$([ン],\ [あ])$である．ただし，$[ワ]<[ン]$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積の総和を$S(a)$とすると，
\[ S(a)=\frac{[い]}{[う]}a^3-a+\frac{[え]}{[お]} \]
である．
(3)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{\sqrt{[か]}}{[き]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[く]-\sqrt{[け]}}{[こ]}$をとる．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
ax & (x \leqq 1) \\
(4-a)x+2(a-2) & (1<x) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定義する．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数である．
(1)$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$の共有点の個数は$[ロ]$である．このうち，$a$の値によらない共有点の座標は，$([ワ],\ [ヲ])$，$([ン],\ [あ])$である．ただし，$[ワ]<[ン]$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積の総和を$S(a)$とすると，
\[ S(a)=\frac{[い]}{[う]}a^3-a+\frac{[え]}{[お]} \]
である．
(3)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{\sqrt{[か]}}{[き]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[く]-\sqrt{[け]}}{[こ]}$をとる．
私立 大阪工業大学 2016年 第3問次の空所を埋めよ．
(1)$\log_{10}2=A$，$\log_{10}3=B$とするとき，$\log_{10}6$，$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと，$\log_{10}6=[ア]$，$\log_{10}5=[イ]$である．
また，$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから，${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい．
(2)$m,\ n$を正の整数として，分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき，すなわち，$m,\ n$が互いに素であるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ．$10$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものは$[オ]$個あり，それらの総和は$[カ]$である．
また，$62$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものの総和は$[キ]$である．
(1)$\log_{10}2=A$，$\log_{10}3=B$とするとき，$\log_{10}6$，$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと，$\log_{10}6=[ア]$，$\log_{10}5=[イ]$である．
また，$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから，${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい．
(2)$m,\ n$を正の整数として，分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき，すなわち，$m,\ n$が互いに素であるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ．$10$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものは$[オ]$個あり，それらの総和は$[カ]$である．
また，$62$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものの総和は$[キ]$である．
私立 天使大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の式を展開しなさい．
$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$
(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい．
約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個，約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である．
(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき，次の式を簡単にしなさい．
$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$
(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある．平均値が$5$，分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい．
$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$．ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である．
(1)次の式を展開しなさい．
$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$
(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい．
約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個，約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である．
(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき，次の式を簡単にしなさい．
$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$
(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある．平均値が$5$，分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい．
$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$．ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である．
公立 和歌山県立医科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$5$以下の異なる$3$個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか．
(2)自然数$m,\ n$を$m<n$のようにとる．$m$個の自然数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_m$を
\[ 1 \leqq a_1<a_2< \cdots <a_m \leqq n \]
のようにとり，和$a_1+a_2+\cdots+a_m$を考える．この形で表される自然数は何個あるか．
(1)$5$以下の異なる$3$個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか．
(2)自然数$m,\ n$を$m<n$のようにとる．$m$個の自然数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_m$を
\[ 1 \leqq a_1<a_2< \cdots <a_m \leqq n \]
のようにとり，和$a_1+a_2+\cdots+a_m$を考える．この形で表される自然数は何個あるか．
私立 昭和大学 2015年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の問いに答えよ．
(i) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，
\[ \left(x+[$1$]y+[$2$] \right) \left([$3$]x+[$4$]y-[$5$] \right) \]
である．
(ii) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=[$6$]$，$y=[$7$]$である．
(2)$xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．
(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{[$8$]}-[$9$],\ \sqrt{[$10$]}-[$11$] \right)$である．
(ii) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は
\[ x^2+y^2+[$12$]x+[$13$]y-[$14$]=0 \]
である．
(3)$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について
\[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \]
を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，
(i) $f(x)=[$15$]x^2-[$16$]ax+\left( a+[$17$] \right) \left( a-[$18$] \right)$である．
(ii) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は
\[ [$19$][$20$]<a \leqq [$21$]+\sqrt{[$22$][$23$]} \]
である．
(4)$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．
\[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \]
このとき，
(i) $a_{10}=[$24$][$25$][$26$]$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(iii) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{[$35$]}^{m-1} \left\{ \left([$36$][$37$] \right)^m-[$38$] \right\}}{[$39$]}$である．
(1)次の問いに答えよ．
(i) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，
\[ \left(x+[$1$]y+[$2$] \right) \left([$3$]x+[$4$]y-[$5$] \right) \]
である．
(ii) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=[$6$]$，$y=[$7$]$である．
(2)$xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．
(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{[$8$]}-[$9$],\ \sqrt{[$10$]}-[$11$] \right)$である．
(ii) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は
\[ x^2+y^2+[$12$]x+[$13$]y-[$14$]=0 \]
である．
(3)$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について
\[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \]
を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，
(i) $f(x)=[$15$]x^2-[$16$]ax+\left( a+[$17$] \right) \left( a-[$18$] \right)$である．
(ii) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は
\[ [$19$][$20$]<a \leqq [$21$]+\sqrt{[$22$][$23$]} \]
である．
(4)$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．
\[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \]
このとき，
(i) $a_{10}=[$24$][$25$][$26$]$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(iii) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{[$35$]}^{m-1} \left\{ \left([$36$][$37$] \right)^m-[$38$] \right\}}{[$39$]}$である．