「絶対値」について
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国立 宮崎大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
国立 宮崎大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 |x+1|+1$に対し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(t,\ f(t)) (t>-1)$における曲線$C$の接線に垂直で，点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
国立 鹿児島大学 2016年 第4問数列$\{a_n\}$を$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定める．また$\alpha$を$\displaystyle \alpha=1+\frac{1}{\alpha}$を満たす正の実数とする．次の各問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$b_n \geqq 1$となることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_{n+1|-\alpha} \leqq \frac{1}{\alpha} |b_n-\alpha|$となることを示せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_n-\alpha| \leqq \frac{1}{\alpha^n}$となることを示せ．
(1)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$b_n \geqq 1$となることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_{n+1|-\alpha} \leqq \frac{1}{\alpha} |b_n-\alpha|$となることを示せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_n-\alpha| \leqq \frac{1}{\alpha^n}$となることを示せ．
国立 弘前大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=x(x^2-4x+3)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$x |x^2-4x+3|=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(1)関数$f(x)=x(x^2-4x+3)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$x |x^2-4x+3|=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第2問空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 6)$，$\mathrm{B}(7,\ 0,\ 9)$，$\mathrm{C}(s,\ t,\ 0)$がある．ただし，$s,\ t$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}$となるとき，$s$と$t$の関係式を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$の直角二等辺三角形となるとき，$s$と$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}$となるとき，$s$と$t$の関係式を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$の直角二等辺三角形となるとき，$s$と$t$の値を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第3問$0$でない複素数$z$の極形式を$r(\cos \theta+i \sin \theta)$とするとき，次の複素数を極形式で表せ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とし，また$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表す．
(1)$-\overline{z}$
(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$
(3)$z-|z|$
(1)$-\overline{z}$
(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$
(3)$z-|z|$