複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{W}(w)$，$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり，
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．

(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．

複素数平面上を動く点$z$を考える．次の問いに答えよ．

(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ．
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき，$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる．この図形を描け．
(3)$a$を正の実数とする．点$z$が虚軸上を動くとき，$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる．この円の中心と半径を求めよ．

$a$は実数とする．関数$f(x)=2x^2-4 |x|+a$と$g(x)=|x|-a$について，次の問いに答えよ．

(1)$2$つの関数のグラフの共有点の個数とそのときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき，それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ．

$a>0$とする．関数$f(x)=2x^2-4 |x|+a$と$g(x)=|x|-a$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のときの$2$つの関数のグラフをかけ．
(2)$2$つの関数のグラフが$2$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．
(3)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき，それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．

$A,\ B$は実数で$A^{11}=8$，$B^{13}=4$であるとする．整数$x,\ y$が$A^x \cdot B^y=2$を満たすとき，$|x+y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$2$つの数列$\{\theta_n\},\ \{a_n\}$を漸化式

$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$

$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

によって定義するとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ．また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ．

$A,\ B$は実数で$A^{11}=8$，$B^{13}=4$であるとする．整数$x,\ y$が$A^x \cdot B^y=2$を満たすとき，$|x+y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$2$次関数$f(x)$に対して，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．