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静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第3問
異なる$n$個のものから$r$個を取る組合せの総数を$\comb{n}{r}$で表す.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$2$以上の自然数$k$について,
\[ \comb{k+3}{4}=\comb{k+4}{5}-\comb{k+3}{5} \]
が成り立つことを証明せよ.
(2)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \comb{k+3}{4}$を求めよ.
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^4+6k^3)$を求めよ.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2016年 第4問
次の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{w}$,$\mathrm{w}$,$\mathrm{w}$,$\mathrm{r}$,$\mathrm{r}$,$\mathrm{b}$の$6$個の文字の中から,$3$個を選んでできる文字の組合せは全部で$[サ]$通りである.また,$3$個を選んで横一列に並べる順列は全部で$[シ][ス]$通りである.
(2)白球$3$個,赤球$2$個,青球$1$個が入った箱がある.

(i) この箱から$3$個を同時に取り出すとき,白球が$2$個,青球が$1$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ][タ]}$であり,$3$個の中に青球が含まれている確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である.

(ii) この箱から同時に取り出した$3$個を袋に入れる.そしてその袋から$1$個を取り出したら,青球であった.このとき,箱から取り出した$3$個が白球$1$個,赤球$1$個,青球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第4問
次の問いに答えなさい.ただし,$[チ]$には$[$\mathrm{X]$}$~$[$\mathrm{Z]$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを,下の選択肢$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい.

複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし,実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.ただし,$i$は虚数単位である.$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので,数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式

$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$

を満たす.これらを用いて,すべての自然数$n$に対して

$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$

ことを,数学的帰納法により証明する.

(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから,$(*)$が成り立つ.
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する.
まず$①,\ ②$より,$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である.ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ.$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから,$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より,これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない.ところが,このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり,数学的帰納法の仮定と矛盾する.よって,$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ.

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より,すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ.

$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
奈良県立医科大学 公立 奈良県立医科大学 2016年 第14問
以下の$(\mathrm{A})$,$(\mathrm{B})$,$(\mathrm{C})$の真偽の組合せとして正しいものをアからクの中から選べ.

\mon[$(\mathrm{A})$] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\ \lim_{n \to \infty} b_n=+\infty$ならば,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$である.
\mon[$(\mathrm{B})$] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が収束して,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n \to \infty}b_n=\beta$ならば,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$である.
\mon[$(\mathrm{C})$] $n \to \infty$のとき,数列$\{a_nb_n\}$が収束するならば,$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$はともに収束する.
\[ \begin{array}{lll}
\text{ア.$(\mathrm{A})$真,$(\mathrm{B})$真,$(\mathrm{C})$真} & & \text{イ.$(\mathrm{A})$真,$(\mathrm{B})$真,$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{ウ.$(\mathrm{A})$真,$(\mathrm{B})$偽,$(\mathrm{C})$真} & & \text{エ.$(\mathrm{A})$真,$(\mathrm{B})$偽,$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{オ.$(\mathrm{A})$偽,$(\mathrm{B})$真,$(\mathrm{C})$真} & & \text{カ.$(\mathrm{A})$偽,$(\mathrm{B})$真,$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{キ.$(\mathrm{A})$偽,$(\mathrm{B})$偽,$(\mathrm{C})$真} & & \text{ク.$(\mathrm{A})$偽,$(\mathrm{B})$偽,$(\mathrm{C})$偽}
\end{array} \]
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2015年 第1問
袋の中に$5$個の玉が入っている.それらは,$0$と書かれた玉が$2$個,$1$と書かれた玉,$-1$と書かれた玉,$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである.この袋の中から$3$個の玉を取り出す.取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする.次に,袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする.このように定義された$m$と$n$のもとで,$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ.
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ.
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて,それぞれが起こる確率を求めよ.
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ.
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち,同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2015年 第1問
袋の中に$5$個の玉が入っている.それらは,$0$と書かれた玉が$2$個,$1$と書かれた玉,$-1$と書かれた玉,$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである.この袋の中から$3$個の玉を取り出す.取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする.次に,袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする.このように定義された$m$と$n$のもとで,$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ.
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ.
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて,それぞれが起こる確率を求めよ.
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ.
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち,同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2015年 第1問
袋の中に$5$個の玉が入っている.それらは,$0$と書かれた玉が$2$個,$1$と書かれた玉,$-1$と書かれた玉,$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである.この袋の中から$3$個の玉を取り出す.取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする.次に,袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする.このように定義された$m$と$n$のもとで,$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ.
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ.
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて,それぞれが起こる確率を求めよ.
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ.
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち,同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ.
上智大学 私立 上智大学 2015年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)不定方程式$41x+355y=1$について,$x$が$0<x<100$を満たす整数解は,$x=[ス]$,$y=[セ]$である.
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と,簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ,料金の合計はちょうど$5000$円となった.なお,$1$通あたりの郵便料金は,普通郵便が$82$円,簡易書留が$710$円である.このとき,普通郵便は$[ソ]$通,簡易書留は$[タ]$通である.
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は,$[チ]$であり,そのような組合せは$[ツ]$通りある.
この組合せのうち,$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚,$205$円切手が$[ト]$枚のときである.また,$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚,$205$円切手が$[ニ]$枚のときである.
星薬科大学 私立 星薬科大学 2015年 第3問
次の問に答えよ.

(1)関数$f(x)=2 \log_2 (2-x)+\log_2 x$は$\displaystyle x=\frac{[$16$]}{[$17$]}$で最大値
\[ [$18$]-[$19$] \log_2 [$20$] \]
をとる.
(2)$\log_2 5=2.32$,$\log_2 11=3.46$,$m$と$n$を正の整数,$0<a<1$とするとき,
\[ \log_2 113=m \left( m-\frac{1}{2} \right)+n+a \]
と表すことができるような$(m,\ n)$の組合せは,$m$の値の小さいほうから順に,$([$21$],\ [$22$])$と$([$23$],\ [$24$])$である.
埼玉大学 国立 埼玉大学 2014年 第1問
$p$を素数とする.以下の問いに答えよ.

(1)$1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し,$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ.ただし,$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする.
(2)$1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって,$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ.
(3)自然数$m,\ n$に対し,$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ.
(4)自然数$n$に対し,$n^p-n$は$p$で割り切れることを,$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ.
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「組合せ」とは・・・

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