次の問いに答えよ．

(1)素数$p$に対して，$\sqrt{p}$は無理数であることを示せ．
(2)$p,\ q$を異なる素数とする．このとき，整数$k,\ m,\ n$が
\[ k+m \sqrt{p}+n \sqrt{q}=0 \]
を満たすならば，$k=0$，$m=0$，$n=0$であることを示せ．

数列$\{a_n\}$はすべての項が整数であり，次の性質を満たしている．

「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき，これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると，
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ．」

(1)$a_5=[ツ]$，$a_6=[テ]$，$a_{49}=[ト]$である．
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である．
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-11$が成立するならば，$p=[ニ]$，$q=[ヌ]$である．

整数$n$は，$1 \leqq n \leqq 100$を満たす．$n,\ n+2,\ n+4$がすべて素数となる整数$n$は，何個あるか．

次の各問の$[　]$に当てはまる数を入れよ．

(1)$100$以下の自然数で，$2$と$5$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$個である．
同様に$100$以下の自然数で，$2$と$3$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$である．
(2)曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える．曲線$C$の接線で，点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，$[　]$であり，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は，$[　]$である．
(3)$1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし，$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり，四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える．$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，体積が最大となるのは，
\[ x=[　],\quad y=[　] \]
のときである．

$p$を素数とするとき，以下の命題を証明しなさい．

(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a$は$p$の倍数である．
(2)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a,\ b,\ c$はどれも$p$の倍数である．
(3)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a=b=c=0$である．
(4)$x,\ y,\ z$を有理数とするとき，$x^3+py^3+p^2z^3-p^3xyz=0$ならば，$x=y=z=0$である．

次の問いに答えなさい．ただし，$[チ]$には$[$\mathrm{X]$}$～$[$\mathrm{Z]$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを，下の選択肢$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい．

複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし，実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位である．$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式

$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$

を満たす．これらを用いて，すべての自然数$n$に対して

$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$

ことを，数学的帰納法により証明する．

(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから，$(*)$が成り立つ．
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する．
まず$①,\ ②$より，$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である．ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ．$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから，$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より，これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない．ところが，このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ．

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より，すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ．

$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]

次の問いに答えよ．

(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．

大小$2$つのサイコロを投げて出る目の値をそれぞれ$p,\ q$とし，$6$以下の自然数$n$のうち条件
\[ (n-p)(n-q)<0 \]
をみたすものすべてをホワイトボードに書くものとする．以下の問いに答えなさい．

(1)ホワイトボードに$2$だけが書かれる確率を求めなさい．
(2)ホワイトボードに何も書かれない確率を求めなさい．
(3)ホワイトボードに書かれる自然数全体の集合を$A$とする．ただし，何も書かれないとき$A$は空集合とする．$6$以下の素数全体の集合を$B$とするとき，$A$が$B$の部分集合となる確率を求めなさい．

$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

$n$を$2$以上の整数とする．$n$以下の正の整数のうち，$n$との最大公約数が$1$となるものの個数を$E(n)$で表す．たとえば
\[ E(2)=1,\quad E(3)=2,\quad E(4)=2,\ \quad\cdots,\quad E(10)=4,\ \quad \cdots \]
である．

(1)$E(1024)$を求めよ．
(2)$E(2015)$を求めよ．
(3)$m$を正の整数とし，$p$と$q$を異なる素数とする．$n=p^mq^m$のとき$\displaystyle \frac{E(n)}{n} \geqq \frac{1}{3}$が成り立つことを示せ．