「素数」について
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国立 京都大学 2016年 第2問素数$p,\ q$を用いて
\[ p^q+q^p \]
と表される素数をすべて求めよ．
\[ p^q+q^p \]
と表される素数をすべて求めよ．
国立 名古屋大学 2016年 第3問正の整数$n$に対して，その（$1$と自分自身も含めた）すべての正の約数の和を$s(n)$と書くことにする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$k$を正の整数，$p$を$3$以上の素数とするとき，$s(2^kp)$を求めよ．
(2)$s(2016)$を求めよ．
(3)$2016$の正の約数$n$で，$s(n)=2016$となるものをすべて求めよ．
(1)$k$を正の整数，$p$を$3$以上の素数とするとき，$s(2^kp)$を求めよ．
(2)$s(2016)$を求めよ．
(3)$2016$の正の約数$n$で，$s(n)=2016$となるものをすべて求めよ．
国立 岡山大学 2016年 第1問$p$は素数とする．正の整数$n$に対し，$p^d$が$n$の約数となる整数$d (d \geqq 0)$のなかで最大のものを$f(n)$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$n=3^2!$のとき$f(n)$の値を求めよ．
(2)$p=5$，$n=5^2!$のとき$f(n)$の値を求めよ．
(3)$m$が正の整数で$n=p^m!$のとき$f(n)$を求めよ．
(1)$p=3$，$n=3^2!$のとき$f(n)$の値を求めよ．
(2)$p=5$，$n=5^2!$のとき$f(n)$の値を求めよ．
(3)$m$が正の整数で$n=p^m!$のとき$f(n)$を求めよ．
国立 東北大学 2016年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ．
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．
(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ．
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．
国立 東京工業大学 2016年 第4問$n$を$2$以上の自然数とする．
(1)$n$が素数または$4$のとき，$(n-1)!$は$n$で割り切れないことを示せ．
(2)$n$が素数でなくかつ$4$でもないとき，$(n-1)!$は$n$で割り切れることを示せ．
(1)$n$が素数または$4$のとき，$(n-1)!$は$n$で割り切れないことを示せ．
(2)$n$が素数でなくかつ$4$でもないとき，$(n-1)!$は$n$で割り切れることを示せ．
国立 千葉大学 2016年 第6問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
国立 千葉大学 2016年 第5問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第1問自然数$n$に対して，$n$のすべての正の約数（$1$と$n$を含む）の和を$S(n)$とおく．例えば，$S(9)=1+3+9=13$である．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき，$S(n)=2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を自然数とする．$n=2^a-1$が$S(n)=n+1$を満たすとき，$a$は素数であることを示せ．
(3)$a$を$2$以上の自然数とする．$n=2^{a-1}(2^a-1)$が$S(n) \leqq 2n$を満たすとき，$n$の$1$の位は$6$か$8$であることを示せ．
(1)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき，$S(n)=2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を自然数とする．$n=2^a-1$が$S(n)=n+1$を満たすとき，$a$は素数であることを示せ．
(3)$a$を$2$以上の自然数とする．$n=2^{a-1}(2^a-1)$が$S(n) \leqq 2n$を満たすとき，$n$の$1$の位は$6$か$8$であることを示せ．
国立 東京医科歯科大学 2016年 第1問自然数$n$に対して，$n$のすべての正の約数（$1$と$n$を含む）の和を$S(n)$とおく．例えば，$S(9)=1+3+9=13$である．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n)=24$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n) \geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき，$S(n) \geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(1)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n)=24$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n) \geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき，$S(n) \geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．
国立 浜松医科大学 2016年 第1問自然数$n$のすべての正の約数の和を表す関数を$f(n)$，正の約数の個数を表す関数を$g(n)$とおく．ただし，$1$および$n$も$n$の正の約数であり$f(1)=g(1)=1$とする．例えば，$n=12$のとき，$n$の正の約数は$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$なので
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．
(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．
以下の問題では，$n$は偶数とする．
\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．
(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．
以下の問題では，$n$は偶数とする．
\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．