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国立 お茶の水女子大学 2015年 第1問座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第1問座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
国立 浜松医科大学 2015年 第3問$t$は実数で$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$を満たすとする．平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$，$\mathrm{Q}(1,\ \sin t)$をとる．このとき以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,\ y) (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(3)曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ．
(ii) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく．このとき，$\theta=\phi$を示せ．
(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,\ y) (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(3)曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ．
(ii) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく．このとき，$\theta=\phi$を示せ．
国立 福島大学 2015年 第5問実数$x$をこえない最大の整数を$[x]$とし，$\langle x \rangle=x-[x]$とする．また，$a$を定数として次の方程式を考える．
\[ 4 \langle x \rangle^2-\langle 2x \rangle-a=0 \]
ただし，$\langle x \rangle^2$は$\langle x \rangle$の二乗を表すとする．
(1)$x=1.7$のとき$\langle x \rangle$および$\langle 2x \rangle$を求めなさい．
(2)$\alpha$が上の方程式の解ならば，任意の整数$n$について$\alpha+n$も解であることを示しなさい．
(3)上の方程式が解を持つような実数$a$の範囲を求めなさい．
\[ 4 \langle x \rangle^2-\langle 2x \rangle-a=0 \]
ただし，$\langle x \rangle^2$は$\langle x \rangle$の二乗を表すとする．
(1)$x=1.7$のとき$\langle x \rangle$および$\langle 2x \rangle$を求めなさい．
(2)$\alpha$が上の方程式の解ならば，任意の整数$n$について$\alpha+n$も解であることを示しなさい．
(3)上の方程式が解を持つような実数$a$の範囲を求めなさい．
国立 山口大学 2015年 第1問$p,\ q,\ m$を実数とする．放物線$y=-x^2+2px+q$を$C$とし，その頂点は直線$y=mx-3$上にあるとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$q$を$p,\ m$を用いて表しなさい．
(2)$C$の頂点の$x$座標が$-4$のとき，$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるように，$m$の値の範囲を定めなさい．また，そのとき$C$が$x$軸から切り取る線分の長さを$m$を用いて表しなさい．
(3)$p$の値にかかわらず，$C$と$y$軸の共有点の$y$座標が負となるように，$m$の値の範囲を定めなさい．
(1)$q$を$p,\ m$を用いて表しなさい．
(2)$C$の頂点の$x$座標が$-4$のとき，$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるように，$m$の値の範囲を定めなさい．また，そのとき$C$が$x$軸から切り取る線分の長さを$m$を用いて表しなさい．
(3)$p$の値にかかわらず，$C$と$y$軸の共有点の$y$座標が負となるように，$m$の値の範囲を定めなさい．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第2問実数$a,\ b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b \geqq 0$のとき，$M$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$M$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b \geqq 0$のとき，$M$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$M$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第3問$a$は実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+2ax+3a^2-2a-4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，重解をもつときは$\alpha=\beta$とする．
(1)$\alpha,\ \beta$がともに実数になるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$\alpha^3+\beta^3$の最大値を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta$がともに実数になるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$\alpha^3+\beta^3$の最大値を求めよ．
私立 立教大学 2015年 第3問$t$を正の実数とする．放物線$C_1:y=x^2+1$と放物線$C_2:y=-tx^2-1$の両方に接する直線のうち傾きが正であるものを$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_1$の接点を$\mathrm{P}$，直線$\ell$と放物線$C_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$を$t:1$に内分する点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{R}$の$y$座標がとりうる値の範囲を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_1$の接点を$\mathrm{P}$，直線$\ell$と放物線$C_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$を$t:1$に内分する点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{R}$の$y$座標がとりうる値の範囲を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問関数$y=\sin \theta \cos \theta-\sin \theta+\cos \theta$について考える．以下に答えなさい．
(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおくとき，$y$を$t$の式で表しなさい．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t$の動く範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$y$の最大値，最小値と，それらを与える$\theta$の値をそれぞれ求めなさい．
(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおくとき，$y$を$t$の式で表しなさい．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t$の動く範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$y$の最大値，最小値と，それらを与える$\theta$の値をそれぞれ求めなさい．
私立 早稲田大学 2015年 第1問$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ |(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2} \]
が相異なる$4$つの実数解をもつとき，$a$の範囲は，$\displaystyle [ア]+\sqrt{[イ]}<a<\frac{1}{[ウ]}$である．
\[ |(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2} \]
が相異なる$4$つの実数解をもつとき，$a$の範囲は，$\displaystyle [ア]+\sqrt{[イ]}<a<\frac{1}{[ウ]}$である．